parabola

3y = x => y = 1/3 x ha come perpendicolari le rette di equazione y = - 3x + q

Dal sistema

y = 3x^2 - 4x

y = -3x + q

si ha la risolvente 3x^2 - 4x = -3x + q

3x^2 - x - q = 0

Per avere la tangente poni Delta = 0

1 + 12 q = 0

q = -1/12

y = -3x - 1/12

12y = -36 x - 1

36x + 12y + 1 = 0 é la retta richiesta in forma implicita

sostituendo la q trovata troviamo il punto di tangenza

3x^2 - x + 1/12 = 0

36 x^2 - 12x + 1 = 0

(6x - 1)^2 = 0

6x = 1

xT = 1/6

yT = -3 * 1/6 - 1/12 = -7/12

L'avverbio di tempo è inutilmente vessatorio e lo trascuro.
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La parabola
* Γ ≡ y = - 3*x^2 - 4*x ≡ 3*x^2 + 4*x + y = 0
ha pendenza
* m(x) = - 2*(3*x + 2)
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La retta
* p ≡ x - 3*y = 0 ≡ y = x/3
ha pendenza m = 1/3, quindi quella delle sue perpendicolari è m' = - 1/m = - 3; il punto T di Γ con pendenza m' è il punto di tangenza che dovrei determinare POI, e invece conviene determinarlo SUBITO
* m(x) = - 2*(3*x + 2) = - 3 ≡ xT = - 1/6
da cui
* T(- 1/6, 7/12)
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Sdoppiando rispetto a T la forma normale canonica di Γ si ottiene la richiesta tangente t
* t ≡ 3*x*(- 1/6) + 4*(x - 1/6)/2 + (y + 7/12)/2 = 0 ≡ y = (1 - 36*x)/12
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solution" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%281-36*x%29%2F12%2Cy%3D-3*x%5E2-4*x%5D