parabola

y = - 6·x + 6

y + 5·x - 6 = 0

y = - 4·x + 4

Metti a sistema a due a due le tre rette. La soluzioni dei tre sistemi fornisce:

[x = 0 ∧ y = 6]

[x = 1 ∧ y = 0]

[x = 2 ∧ y = -4]

y = a·x^2 + b·x + c

è la parabola da determinare. Imponi quindi il passaggio per i tre punti ottenuti:

{6 = a·0^2 + b·0 + c

{0 = a·1^2 + b·1 + c

{-4 = a·2^2 + b·2 + c

Quindi risolvi il sistema:

{c = 6

{a + b + c = 0

{4·a + 2·b + c = -4

ed ottieni:

[a = 1 ∧ b = -7 ∧ c = 6]

Per cui ottieni la parabola:

y = x^2 - 7·x + 6

Parabola Γ non degenere con asse parallelo all'asse y vuol dire equazione di forma
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
con i parametri: apertura a != 0; coordinate del vertice V(w, h).
La condizione di passare per A, B, C impone tre vincoli d'appartenenza il cui sistema determina Γ.
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Le coordinate di A, B, C sono le soluzioni, se esistono tutt'e tre, dei tre sistemi
* (y = - 4*x + 4) & (y = - 6*x + 6) ≡ A(1, 0)
* (y = - 6*x + 6) & (y = 5*x - 6) ≡ B(12/11, - 6/11)
* (y = 5*x - 6) & (y = - 4*x + 4) ≡ C(10/9, - 4/9)
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Il sistema dei vincoli è
* (0 = h + a*(1 - w)^2) & (- 6/11 = h + a*(12/11 - w)^2) & (- 4/9 = h + a*(10/9 - w)^2) ≡
≡ (h = - a*(w - 1)^2) & (a*(11*w - 12)^2 + 11*(11*h + 6) = 0) & (a*(9*w - 10)^2 + 9*(9*h + 4) = 0) ≡
≡ (h = - a*(w - 1)^2) & (66 - a*(22*w - 23) = 0) & (a*(19 - 18*w) + 36 = 0) ≡
≡ (a = 99) & (w = 71/66) & (h = - 99*(71/66 - 1)^2) ≡
≡ (a, w, h) = (99, 71/66, - 25/44)
da cui infine
* Γ ≡ y = 99*(x - 71/66)^2 - 25/44 ≡
≡ y = 99*x^2 - 213*x + 114