PARABOLA

y = (- 1/2)·x^2 - 4·x

trovo la polare con le formule di sdoppiamento:

[-3, 12]

(y + 12)/2 = (- 1/2)·(- 3·x) - 4·(x - 3)/2

(y + 12)/2 = (12 - x)/2----> y = -x

Quindi i punti di intersezione con le polare, ossia i punti di tangenza delle due rette:

{y = (- 1/2)·x^2 - 4·x

{y = -x

risolvo ed ottengo: [x = 0 ∧ y = 0, x = -6 ∧ y = 6]

[-6, 6] punto B; [0, 0] punto C

Le due rette tangenti sono (determinabili con le formule di sdoppiamento):

y = 2y + 18

y = - 4x

Determino l'area del segmento parabolico tramite integrale:

∫((- 1/2)·x^2 - 4·x -(-x)) dx = - x^3/6 - 3·x^2/2

fra x=-6 ed x=0

- 0^3/6 - 3·0^2/2 =0

- (-6)^3/6 - 3·(-6)^2/2 = -18

0-(-18)=18

Per il punto A(- 3, 12) passano tutte e sole le rette:
* x = - 3, parallela all'asse y;
* r(k) ≡ y = 12 + k*(x + 3), per ogni pendenza k reale.
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Le rette per A tangenti la parabola data
* Γ ≡ y = - x*(x + 8)/2
devono essere r(k) in quanto x = - 3, parallela all'asse di simmetria x = - 4, è secante in (- 3, 15/2).
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La risolvente del sistema
* r(k) & Γ ≡ (y = 12 + k*(x + 3)) & (y = - x*(x + 8)/2)
è
* - x*(x + 8)/2 - (12 + k*(x + 3)) = 0 ≡
≡ x^2 + 2*(k + 4)*x + 6*(k + 4) = 0
con discriminante che, per la tangenza, deve annullarsi
* Δ(k) = 4*(k + 4)*(k - 2) = 0 ≡ (k = - 4) oppure (k = 2)
da cui
* t1 ≡ r(- 4) ≡ y = - 4*x
* t2 ≡ r(2) ≡ y = 2*(x + 9)
e
* t1 & Γ ≡ (y = - 4*x) & (y = - x*(x + 8)/2) ≡ T1(0, 0)
* t2 & Γ ≡ (y = 2*(x + 9)) & (y = - x*(x + 8)/2) ≡ T2(- 6, 6)
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D-x*%28x--8%29%2F2%2C%28-x-y%29*%28-4*x-y%29*%282*%28x--9%29-y%29%3D0%5Dx%3D-11to2%2Cy%3D-2to14
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Il segmento parabolico delimitato dalla corda T1T2 ha area
* S = |a|*(|xT2 - xT1|)^3/6 = |- 1/2|*(|-6 - 0|)^3/6 = 18
Vedi l'ultima riga al link
http://www.robertobigoni.it/Matematica/Coniche/segmento/segmento.htm