PARABOLA

y = a·x^2 + b·x + c

{2 = a·1^2 + b·1 + c passa per [1,2]

{0 = a·3^2 + b·3 + c passa per [3,0]

quindi:

{a + b + c = 2

{9·a + 3·b + c = 0

Risolvo in a e b:

[a = (c - 3)/3 ∧ b = (9 - 4·c)/3]

Metto a sistema la parabola così ottenuta con la bisettrice del 2° e 4° quadrante:

{y = (c - 3)/3·x^2 + (9 - 4·c)/3·x + c

{y = -x

quindi:

(c - 3)/3·x^2 + (9 - 4·c)/3·x + c + x = 0

x^2·(c - 3)/3 + 4·x·(3 - c)/3 + c = 0

x^2·(c - 3) + 4·x·(3 - c) + 3·c = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(2·(3 - c))^2 - (c - 3)·3·c = 0

c^2 - 15·c + 36 = 0---> (c - 3)·(c - 12) = 0

quindi: c = 12 ∨ c = 3

c = 12:  a = (12 - 3)/3 ∧ b = (9 - 4·12)/3  ;  [a = 3 ∧ b = -13]

y = 3·x^2 - 13·x + 12

c=3 NON ACCETTABILE:[a = 0 ∧ b = -1]

"equazione della parabola Γ con asse parallelo all'asse y" vuol dire
* Γ(w, h, a) ≡ y = h + a*(x - w)^2
dove
* a != 0 se Γ è non degenere
* V(w, h) è il vertice di Γ
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"passante per il punto A(1, 2)" vuol dire 2 = h + a*(1 - w)^2
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"passante per il punto B(3, 0)" vuol dire 0 = h + a*(3 - w)^2
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"passante per i punti A(1, 2) e B(3, 0)" vuol dire
* (2 = h + a*(1 - w)^2) & (0 = h + a*(3 - w)^2) ≡
≡ V((4*a + 1)/(2*a), - (2*a - 1)^2/(4*a))
da cui
* Γ(a) ≡ y = a*(x - 3)*(x - (a + 1)/a)
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"tangente alla bisettrice del II e IV quadrante" vuol dire che il sistema
* (x = - y) & (y = a*(x - 3)*(x - (a + 1)/a))
ha risolvente
* a*(- y - 3)*(- y - (a + 1)/a) - y = 0 ≡
≡ y^2 + 4*y + 3 + 3*(a + 1)/a = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = - 4*(2*a + 3)/a = 0 ≡ a = - 3/2
da cui
* Γ ≡ y = (- 3/2)*(x - 3)*(x - (- 3/2 + 1)/(- 3/2)) ≡
≡ y = (- 3/2)*(x - 3)*(x - 1/3)