Io sono ligio alle regole e non dovrei rispondere a una domanda con più di un problema.
Come risposta di compromesso, invece di risolverli io, ti dico come fare a risolverli da te.
Se tu li avessi pubblicati uno per volta te li avrei risolti con tutte le spiegazioni.
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I problemi riguardano parabole non degeneri con asse di simmetria parallelo a un asse coordinato
* Γ1 ≡ y = (- 1/2)*x^2 - 4*x ≡ y = 8 - (x + 4)^2/2
* Γ2 ≡ x = 2*y^2 - 8*y + 9 ≡ x = 1 + 2*(y - 2)^2
tutt'e due della forma
* Γ ≡ z = c + a*(w - b)^2 ≡ w^2 - 2*b*w - z/a + b^2 + c/a = 0
con variabili {w, z}, parametri {a, b, c}, a != 0.
I quesiti riguardano ...
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1) Determinare la retta secante Γ del fascio improprio di pendenza m != 0
* s(q) ≡ w = m*z + q
che stacchi su Γ una corda di lunghezza L > 0.
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2) Determinare le rette tangenti Γ tirate dal punto P(u, v) e i loro punti T di tangenza.
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3) Valutare l'area S del segmento parabolico delimitato dalla corda di estremi A e B.
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COME RISOLVERE
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1) Il sistema dei punti comuni
* (w = m*z + q) & (z = c + a*(w - b)^2) & (a*m != 0)
individua gli estremi A e B di una corda lunga
* |AB| = √((1 - 4*a*m*(c*m + q - b))*(4*m^2 + 1)/(2*a*m^2)^2)
La radice 'q' di
* (|AB| = √((1 - 4*a*m*(c*m + q - b))*(4*m^2 + 1)/(2*a*m^2)^2) = L > 0) & (a*m != 0)
determina la retta richiesta, e la corda AB ne risulta della lunghezza voluta.
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2) Per sdoppiamento della forma canonica
* Γ ≡ w^2 - 2*b*w - z/a + b^2 + c/a = 0
rispetto al polo P(u, v) si ha la retta polare
* p ≡ z = 2*a*(u - b)*w + 2*(c - a*b*(u - b)) - v
che, intersecata con Γ, dà i punti di tangenza T1 e T2; le tangenti sono le congiungenti PT.
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3) Il segmento parabolico delimitato dalla corda di estremi A e B sulla parabola
* Γ ≡ z = c + a*(w - b)^2
ha area
* S = |a|*(|wB - wA|)^3/6
