Considera la parabola di equazione $y=x^2+6 x$ che interseca l'asse $x$ nei punti $O$ e B. Determina le coordinate di un punto $P$, appartenente all'arco $O B$ della parabola, tale che la somma delle sue distanze dalla tangente $t$ in Be dalla normale $n$ alla curva in $B \operatorname{sia} \frac{60}{\sqrt{37}} \quad \quad\left[O(0 ; 0), B(-6 ; 0) ; P_1(-1 ;-5), P_2\left(-\frac{18}{5} ;-\frac{216}{25}\right)\right]$
mi aiutereste a fare solo la seconda parte? non mi vengono i calcoli. Grazie
308
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Livello 1
La normale è la perpendicolare alla tangente.
Calcolo della tangente e della normale in B(-6,0)
y = x^2 + 6·x in [-6, 0]
Formule di sdoppiamento
(y + 0)/2 = - 6·x + 6·(x - 6)/2
y = - 6·x - 36--------> 6·x + y + 36 = 0
la normale ha equazione tipo:
x - 6·y + c = 0 (a·a' + b·b' = 0)
-6 - 6·0 + c = 0----> c = 6
x - 6·y + 6 = 0
Distanza del punto [x, x^2 + 6·x] con -6 < x < 0 dalla tangente:
ABS(6·x + x^2 + 6·x + 36)/√(6^2 + 1^2) = ABS(x^2 + 12·x + 36)/√37 =
=(x + 6)^2/√37
Distanza del punto [x, x^2 + 6·x] con -6 < x < 0 dalla normale:
ABS(x - 6·(x^2 + 6·x) + 6)/√37 =ABS(- 6·x^2 - 35·x + 6)/√37=
=(- 6·x^2 - 35·x + 6)/√37
(argomento positivo per -6 < x < 0)
Quindi si tratta di scrivere:
(x + 6)^2/√37 + (- 6·x^2 - 35·x + 6)/√37 = 60/√37
(x + 6)^2 + (- 6·x^2 - 35·x + 6) = 60
- 5·x^2 - 23·x + 42 - 60 = 0
5·x^2 + 23·x + 18 = 0
risolvo ed ottengo:
x = - 18/5 ∨ x = -1
quindi due punti:
[- 18/5, (- 18/5)^2 + 6·(- 18/5)] = [- 18/5, - 216/25]
[-1, (-1)^2 + 6·(-1)] = [-1, -5]
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Genius II
@lucianop ma cosa è la normale? non è la perpendicolare della tangente in B?
