[Risolto] Parabola

La parabola interseca l'asse delle ascisse nel punto P= (1;0) che è anche il centro del fascio proprio di rette e nel punto (3;0)

L'area del segmento parabolico è dato da:

A=(1/6)|a|* (xB - xA)³ , xB> xA

Imponendo la condizione richiesta si ricava:

(1/6)*1*(xB-xA)³ = 32/3

(xB-xA)³ = 64

(xB-xA) = 4

Essendo xA=1 (centro del fascio e intersezione della conica con l'asse delle ascisse) si ricava:

xB - 1=4

xB= 5 => yB=8

L'appartenenza del punto B al fascio fornisce il valore del parametro m

8= m(5-1)

m=2

Ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* vertice V(w, h)
* apertura a != 0
ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
se il vertice è V(2, - 1) allora
* Γ ≡ y = - 1 + a*(x - 2)^2
dovendo Γ passare per P(1, 0) si deve verificare
* 0 = - 1 + a*(1 - 2)^2 ≡ a = 1
da cui
* Γ ≡ y = (x - 2)^2 - 1 ≡ y = (x - 1)*(x - 3) ≡ y = x^2 - 4*x + 3
con pendenza
* m(x) = 2*(x - 2)
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Già Archimede, ai tempi suoi, mostrò che l'area Sp del segmento parabolico vale quattro terzi di quella Tt del triangolo con la stessa base e il terzo vertice nel punto di tangenza della parallela alla corda base: Sp = (4/3)*Tr. Per ottenere
* Sp = (4/3)*Tr = 32/3 ≡ Tr = 8
occorre trovare la corda PQ (|PQ| = b) tale che la sua tangente parallela tocchi Γ in un punto T che disti h dalla retta PQ in modo da avere b*h/2 = 8, cioè b*h = 16.
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Una secante per P con pendenza k > 0
* s(k) ≡ y = k*(x - 1)
ha l'altra intersezione Q
* s(k) & Γ ≡ (y = k*(x - 1)) & (y = (x - 2)^2 - 1) ≡ Q(k + 3, (k + 2)*k)
al di là del secondo zero; e, nel fascio di parallele
* p(q) ≡ y = k*x + q
la tangente deve avere la stessa pendenza
* m(x) = 2*(x - 2) = k ≡ x = k/2 + 2
e passare per T(k/2 + 2, (k/2 + 2 - 1)*(k/2 + 2 - 3)) = (k/2 + 2, (k^2 - 4)/4)
* t ≡ y = k*x - k^2/4 - 2*k - 1
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ULTIMI SPASMI
* b = |PQ| = √((k^2 + 1)*(k + 2)^2)
* h = |T-PQ| = √((k + 2)^4/(k^2 + 1))/4
* b*h = (k + 2)^3/4
* ((k + 2)^3/4 = 16) & (k > 0) ≡ k = 2
da cui
* s(2) ≡ y = 2*(x - 1)
* Q(5, 8)
* T(3, 0)
* t ≡ y = 2*(x - 3)
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http://www.wolframalpha.com/input?i=triangle%281%2C0%29%285%2C8%29%283%2C0%29area
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*%28x+-+1%29%2Cy%3D%28x+-+2%29%5E2-1%5D