[Risolto] Parabola

L'esercizio non é semplice.

Se la direttrice ha equazione  Ax + By + C = 0 e il fuoco ha coordinate (p,q)

puoi verificare applicando la definizione e riducendo che l'equazione della parabola si scrive

B^2 x^2 - 2 AB xy + A^2 y^2 - 2(A^2 p + B^2 p + AC) x - 2(A^2 q + B^2 q + BC)y +

+ (A^2 + B^2) (p^2 + q^2) - C^2 = 0.

Questa cosa é terribile, non lo nego. Tuttavia dal confronto con 4x^2 - 4xy + y^2 - 5x = 0

puoi subito dedurre B = 2 e A = 1, per cui la direttrice ha equazione x + 2y + C = 0.

Inoltre dal Principio di Identità dei Polinomi scaturisce il sistema :

{ - 2(A^2 p + B^2 p + AC) = -5

{ -2 (A^2 q + B^2 q + BC) = 0

{ (A^2 + B^2) (p^2 + q^2) - C^2 = 0

che, per sostituzione degli elementi noti, assume la forma

{ 2(p + 4p + C) = 5

{ q + 4q + 2C = 0

{ 5(p^2 + q^2) - C^2 = 0

e con qualche semplice passaggio algebrico

{ 5 p + C = 5/2

{ 5q + 2C = 0

{ 5(p^2 + q^2) = C^2

da cui si trae

10 p + 2C = 5

5q + 2C = 0

-------------------- sottraendo

10 p - 5q = 5

2p - q = 1

q = 2p - 1

e quindi sostituendo tutto nell'ultima

5 [ p^2 + (2p - 1)^2 ] = (5/2 - 5p)^2

5 [ p^2 + 4p^2 - 4p + 1 ] = 25/4 + 25 p^2 - 25 p

25 p^2 - 20 p + 5 = 25p^2 - 25p + 25/4

5p = 5/4

p = 1/4

q = 2p - 1 = 2*(1/4 - 1) = -1/2

F = (1/4, -1/2)

C = 5/2 - 5p = 5/2 - 5/4 = 5/4

e l'equazione della direttrice risulta  x + 2y + 5/4 = 0

A questo punto non é difficile pervenire alla conclusione.

Infatti l'asse deve essere perpendicolare alla direttrice e quindi

avere equazione implicita   2x - y + k = 0

e passare per il fuoco, per cui   2*1/4 + 1/2 + k = 0  =>

k = -1/2 -1/2 = -1

L'equazione dell'asse é y = 2x - 1 e la figura é la seguente :

https://www.desmos.com/calculator/rxnfjabv24

Resta da determinare il vertice V :

a tale scopo - sostituendo y = 2x - 1 nell'equazione della parabola

per determinarne l'intersezione con l'asse - si trae subito

4x^2 - 4x(2x-1) + (2x-1)^2 - 5x = 0

4x^2 - 8x^2 + 4x + 4x^2 - 4x + 1 - 5x = 0

1 - 5x = 0

5x = 1

così risulta infine

xV = 1/5

yV = 2*1/5 - 1= -3/5