Parabola

@marianaproblem

Ciao e benvenuta. Ammesso che tu abbia scritto correttamente i dati, si può risolvere il problema con 3 equazioni che conducono a due parabole.

Passaggio di y = a·x^2 + b·x + c per P(-1,2)

Ascissa di F= ascissa dell'asse verticale: - b/(2·a) = 1

Ordinata di F=(1 - Δ)/(4·a) = 5/4------> (1 - (b^2 - 4·a·c))/(4·a) = 5/4

Quindi ottieni il sistema di 2° grado:

{a - b + c = 2

{b = - 2·a

{(1 - (b^2 - 4·a·c))/(4·a) = 5/4

che risolto porta alla soluzione:

[a = (√73 + 3)/32 ∧ b = - (√73 + 3)/16 ∧ c = - (3·√73 - 55)/32,

a = - (√73 - 3)/32 ∧ b = (√73 - 3)/16 ∧ c = (3·√73 + 55)/32]

Cioè alle due parabole:

y = x^2·(√73/32 + 3/32) - x·(√73/16 + 3/16) - 3·√73/32 + 55/32

y = x^2·(3/32 - √73/32) + x·(√73/16 - 3/16) + 3·√73/32 + 55/32

PROBLEMA INDETERMINATO PER CARENZA DI VINCOLI.
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"parabola con asse parallelo all'asse y" ≡
≡ Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
con
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
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"passante per il punto p(-1;2)" ≡
≡ 2 = h + a*(- 1 - w)^2 ≡ h = 2 - a*(w + 1)^2
quindi
* Γ(a, w) ≡ y = a*x^2 - 2*a*w*x + 2 - a*(2*w + 1)
che, rispetto al modello (y = a*x^2 + b*x + c) ha
* b = - 2*a*w
* c = 2 - a*(2*w + 1)
* Δ = b^2 - 4*a*c = 4*a*(a*w^2 + 2*a*w + a - 2)
e coordinate del fuoco
* F(- b/(2*a), (1 - Δ)/(4*a)) =
= (w, (1/(4*a) - (a*w^2 + 2*a*w + a - 2)))
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"avente per fuoco il punto F(1;5/4)" ≡
≡ (w, 1/(4*a) - (a*w^2 + 2*a*w + a - 2)) = (1, 5/4) ≡
≡ (w = 1) & (1/(4*a) - (a*1^2 + 2*a*1 + a - 2) = 5/4) ≡
≡ (w = 1) & (16*a^2 - 3*a - 1 = 0) ≡
≡ (w = 1) & ((a = (3 - √73)/32) oppure (a = (3 + √73)/32))
da cui
* (a, w, h) = ((3 - √73)/32, 1, (13 + √73)/8)
* Γ1 ≡ y = (13 + √73)/8 + ((3 - √73)/32)*(x - 1)^2
oppure
* (a, w, h) = ((3 + √73)/32, 1, (13 - √73)/8)
* Γ2 ≡ y = (13 - √73)/8 + ((3 + √73)/32)*(x - 1)^2
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Vedi
* il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D%2813%2B%E2%88%9A73%29%2F8%2B%28%283-%E2%88%9A73%29%2F32%29*%28x-1%29%5E2%2Cy%3D%2813-%E2%88%9A73%29%2F8%2B%28%283%2B%E2%88%9A73%29%2F32%29*%28x-1%29%5E2%5D
* il paragrafo "Properties: Focus" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+y%3D%2813%2B%E2%88%9A73%29%2F8%2B%28%283-%E2%88%9A73%29%2F32%29*%28x-1%29%5E2
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+y%3D%2813-%E2%88%9A73%29%2F8%2B%28%283%2B%E2%88%9A73%29%2F32%29*%28x-1%29%5E2