Parabola

ciao di nuovo.

Vedi figura sotto:

Ecco i calcoli!

Esplicito la direttrice: 2·y + x = 0-------> y = - x/2

La perpendicolare, che è l'asse della parabola, passa per V(1,1) ed ha coefficiente angolare m = 2 dovendo esso essere perpendicolare a tale direttrice.

Quindi: y - 1 = 2·(x - 1)------>y = 2·x - 1 asse della parabola 

Quindi determino l'intersezione fra asse e direttrice:

{2·y + x = 0

{y = 2·x - 1

quindi risolvo ed ottengo: [x = 2/5 ∧ y = - 1/5]

Determino poi il fuoco F che ha simmetria centrale rispetto al vertice rispetto al punto trovato sopra.

{1 = (2/5 + x)/2

{1 = (- 1/5 + y)/2

quindi F(8/5, 11/5)

Poi si passa alla definizione quale luogo geometrico: luogo dei punti (x,y) equidistanti dalla direttrice e dal fuoco.

Dalla direttrice:  d = ABS(x + 2·y)/√(1^2 + 2^2)----> d = √5·ABS(x + 2·y)/5

Dal fuoco:√((x - 8/5)^2 + (y - 11/5)^2)

Quindi:

√((x - 8/5)^2 + (y - 11/5)^2) = √5·ABS(x + 2·y)/5

elevando al quadrato e moltiplicando per 5:

5·x^2 - 16·x + 5·y^2 - 22·y + 37 = x^2 + 4·x·y + 4·y^2

sviluppando si ottiene:

4·x^2 - 4·x·y - 16·x + y^2 - 22·y + 37 = 0

La direttrice
* d ≡ 2*y + x = 0 ≡ y = - x/2
ha pendenza - 1/2, quindi ha pendenza + 2 (e inclinazione α = arctg(2) ~= 63°) il suo fascio ortogonale di rette
* y = 2*x + h
Fra queste l'asse di simmetria della richiesta parabola Γ è quella per il vertice
* V(1, 1)
cioè
* y = 2*x - 1
che interseca la direttrice in
* (y = - x/2) & (y = 2*x - 1) ≡ D(2/5, - 1/5)
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Se la retta è la direttrice (q = 0; m = - 1/2) e il punto è il generico P(x, y) si ha
* d(x, y) = |(x + 2*y)|/√5
da cui la distanza focale
* f = |VF| = |Vd| = d(1, 1) = 3/√5
la posizione del fuoco F
* (y = 2*x - 1) & ((x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (3/√5)^2) ≡
≡ D(2/5, - 1/5) oppure F(8/5, 11/5)
e l'equazione di Γ
* distanzaDalFuoco = distanzaDallaDirettrice ≡
≡ (x - 8/5)^2 + (y - 11/5)^2 = (|(x + 2*y)|/√5)^2 ≡
≡ (x - 8/5)^2 + (y - 11/5)^2 - (|(x + 2*y)|/√5)^2 = 0 ≡
≡ 4*x^2 - 4*x*y + y^2 - 16*x - 22*y + 37 = 0 ≡
≡ (2*x - y)^2 - 16*x - 22*y + 37 = 0
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28-y-x%2F2%29*%28-y%2B2*x-1%29%3D0%2C%282*x-y%29%5E2-16*x-22*y%2B37%3D0%5Dx%3D-5to22%2Cy%3D-5to22
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La traslazione V → O dà luogo a
* (2*x - y)^2 - 16*x - 22*y + 37 = 0 → (2*x - y)^2 - 12*x - 24*y = 0
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Si complementa l'inclinazione α = arctg(2) ~= 63°
* θ = π/2 - arctg(2)
con
* sin(θ) = sin(π/2 - arctg(2)) = 1/√5
* cos(θ) = cos(π/2 - arctg(2)) = 2/√5
e, per una rotazione di θ, occorre e basta la sostituzione
* (u = 2*x/√5 - y/√5) & (v = x/√5 + 2*y/√5) ≡
≡ (x = (2*u + v)/√5) & (y = (2*v - u)/√5)
con la quale si ottiene
* (2*x - y)^2 - 12*x - 24*y = 0 →
→ (2*(2*u + v)/√5 - (2*v - u)/√5)^2 - 12*(2*u + v)/√5 - 24*(2*v - u)/√5 = 0 ≡
≡ v = (√5/12)*u^2 →
→ y = (√5/12)*x^2
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Un possibile controllo di correttezza è
* f = 1/(4*|(√5/12)|) = 3/√5 Ok
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Vedi il grafico delle tre forme al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2C%282*x-y%29%5E2-16*x-22*y%2B37%3D0%2C%282*x-y%29%5E2-12*x-24*y%3D0%2Cy%3D%28%E2%88%9A5%2F12%29*x%5E2%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-2to5