Parabola

Puoi utilizzare la definizione (luogo geometrico):

Equidistanza del suo generico punto dal fuoco e dalla direttrice

[x, y]

[1, 2] è il fuoco (interno alla parabola con stessa ascissa del vertice (vertice che è equidistante dalla direttrice e dal fuoco)

y = 0 direttrice

ABS(y - 0) = √((x - 1)^2 + (y - 2)^2)

ABS(y) = √(x^2 - 2·x + y^2 - 4·y + 5)

y^2 = x^2 - 2·x + y^2 - 4·y + 5

x^2 - 2·x + y^2 - 4·y + 5 - y^2 = 0

x^2 - 2·x - 4·y + 5 = 0 o anche: y = x^2/4 - x/2 + 5/4

La direttrice dell'asse X indica che la parabola ha un'asse di simmetria verticale, quindi la sua equazione generale sarà nella forma:

Y=a(x−h)²+k

dove (h,k) è il vertice della parabola. In questo caso, il vertice implica che h=1 e k=1. L'equazione diventa quindi: y=a(x−1)² +1. Poiché la direttrice è l'asse x, la distanza dal vertice alla direttrice è uguale alla distanza dal vertice al fuoco. La distanza verticale tra il vertice e la direttrice è 1 e sappiamo che questa distanza è uguale a 1/4a

Quindi 1/4a = 1 ----> 4a = 1 -----> a = 1/4

Pertanto, l'equazione della parabola è:

Y = 1/4 ( x - 1 )² + 1

Svolgendo i calcoli viene 

y = 1/4 (x² + 1 -2x) +1

y = ¼x² + ¼ - ½x + 1

Sommiamo ¼ + 1 = 5/4

Quindi in conclusione abbiamo 

y = ¼x² - ½x + 5/4

Ciao, ti allego la rappresentazione su Geogebra, per il procedimento algebrico ci sono due vie, o  utilizzi la formula della direttrice e ricavi i vari coefficienti ed il discriminante, oppure utilizzi la definizione del luogo geometrico della parabola.