Sono più delle tredici e ancora non si trova nemmeno un problemino su cui scrivere quattro righe: che micragna!
Mi rendo conto che tu, cara @Dillan, pubblichi in questa rozzissima maniera pensando "Ci sarà pure un fesso che mi svolge gli esercizi pronti da copiare!" (e del resto è già significativo che ti sia scelta come pseudonimo il nome di "... Dillan, un ragazzo autistico non verbale, ..."), ma resta il fatto che a me i problemini siano necessari.
Ti sottopongo una risposta di compromesso: se (sotto la tua mal educazione) sei anche moderatamente intelligente allora ne saprai fare buon uso; se invece sei anche stupida allora io avrò occupato un'oretta, ma tu non saprai che fartene.
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Esercizio #1
Tipico esempio di esercizio scritto male, preso da un libro che non si sarebbe dovuto adottare.
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IMPOSSIBILE AL SINGOLARE ("l'equazione della parabola").
Per il punto P(2, 3) passa una quadruplice infinità di parabole; per poterne scegliere una non basta imporre che V(1, 1) sia il vertice.
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Se, alla generica parabola, con (u, v) non entrambi nulli,
* Γ(a, b, c, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
s'impone il passaggio per P(2, 3), cioè
* (u*2 + v*3)^2 + a*2 + b*3 + c = 0 ≡ c = - (2*a + 3*b + (2*u + 3*v)^2)
si ha
* Γ(a, b, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*(x - 2) + b*(y - 3) - (2*u + 3*v)^2 = 0
che ha solo quattro parametri liberi invece di cinque.
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Anche V(1, 1) dev'essere su Γ, cioè
* a*(1 - 2) + b*(1 - 3) + (u*1 + v*1)^2 - (2*u + 3*v)^2 = 0 ≡
≡ a = - (2*b + (u + 2*v)*(3*u + 4*v))
da cui
* c = b + 2*u^2 + 8*u*v + 7*v^2
* Γ(b, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 - (2*b + (u + 2*v)*(3*u + 4*v))*x + b*y + (b + 2*(u + 2*v)^2 - v^2) = 0
dove i gradi di libertà si sono ridotti a tre.
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Imporre che V sia vertice, cioè che la pendenza
* m(x) = (2*u^2)*x + 2*u*v*y - 2*b - 3*u^2 - 10*u*v - 8*v^2
in V(1, 1) sia
* m(1) = (2*u^2)*1 + 2*u*v*1 - 2*b - 3*u^2 - 10*u*v - 8*v^2 = v/u
vuol dire
* b = - (u^3 + 8*(u + v)*u*v + v)/(2*u)
* a = - (2*u^3 + 2*u^2*v - v)/u
* c = (3*u^3 + 8*u^2*v + 6*u*v^2 - v)/(2*u)
e infine
* Γ(u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 - ((2*u^3 + 2*u^2*v - v)/u)*x - ((u^3 + 8*(u + v)*u*v + v)/(2*u))*y + (3*u^3 + 8*u^2*v + 6*u*v^2 - v)/(2*u) = 0
dove restano ancora i due gradi di libertà di (u, v) che rappresentano la pendenza dell'asse di simmetria
* - u/v
CONCLUSIONE
Puoi sbizzarrirti a vedere tutte le possibili parabole al variare di (u, v)
* per u = 0 si ha l'asse di simmetria parallelo all'asse x
* per v = 0 si ha l'asse di simmetria parallelo all'asse y
AVVERTENZA
Dopo quest'orgia di algebra e dattilografia non posso dare alcuna garenzia di esattezza dei calcoli, chissà quante sviste mi saranno sfuggite!
Lo scopo di quest'orgia era solo quello di mostrarti a quali complicazioni ti espone la raffazzoneria di chi ha scritto l'esercizio senza specificare l'orientamento dell'asse di simmetria.
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Esercizio #2
Tipico esempio di esercizio scritto male, preso da un libro che non si sarebbe dovuto adottare.
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IMPOSSIBILE AL SINGOLARE ("l'equazione della parabola").
Di parabole con:
* apertura negativa;
* asse di simmetria x = 1 [y = h - a*(x - 1)^2];
* zeri in O(0, 0) e Z(2, 0) [y = - a*x*(x - 2)];
* ordinata di vertice minore di uno [0 < h < 1];
ne puoi tracciare un'infinità variando l'ordinata del vertice.
Le condizioni poste dalla figura si limitano a imporre
* h = a
cioè
* (y = a*(1 - (x - 1)^2)) & (0 < a < 1)
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5By%3D%281-%28x-1%29%5E2%29%2Fk%2C%7Bk%2C2%2C5%7D%5D
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Esercizio #3
E finalmente un problema ben posto!
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Costo
* "C=2000+25x+0.01x^{2}" ≡
≡ c(x) = 2000 + 250*(x/10) + (x/10)^2
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Ricavo
* "il prezzo unitario di vendita è 45 €" ≡
≡ r(x) = 45*x
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Guadagno
* g(x) = r(x) - c(x) = 45*x - (2000 + 250*(x/10) + (x/10)^2) ≡
≡ g(x) = 8000 - (x - 1000)^2/100 ≡
≡ g(x) = 8000 - (x - 1000)^2/100
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La quantità di massimo profitto è il vertice di g(x):
* g(1000) = 8000 - (1000 - 1000)^2/100 = 8000
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Le quantità per non essere in perdita sono quelle fra gli zeri di g(x):
* 200*(5 - 2*√5) <= x <= 200*(5 + 2*√5) ~≡
~≡ 105.57 <= x <= 1894.4 ≡
≡ x in [106, 1894]