Parabola

Hai sbagliato all'ultimo:

a = 1/4 ∧ b = 1 ∧ Δ = 2

Δ =1^2 - 4·1/4·c = 2------>1 - c = 2---->  c = -1

y = 1/4·x^2 + x - 1

Non è corretto.

dal sistema intermedio b = 4a

La soluzione trovata a = 1/4 mentre il tuo b = 0.

Proviamo a risolverlo.

.

Sommando la seconda equazione alla terza ricavi

Δ = 8a che equivale a Δ = 2b

esplicitando il discriminante

b² - 4ac = 8a

16a²-4ac = 8a ⇒ c = 4a - 2

A questo punto abbiamo b e c in funzione di a introduciamoli nella terza equazione e così ricaviamo a

-1 - 16a² - 4ac = -12 a     ⇒    a = 1/4

Risultato corretto che avevi registrato, ma allora

b = 1; c = -1

l'equazione della parabola è così

$ y = \frac{x^2}{4} +x - 1$

LA STITICHEZZA VERBALE GENERA DOMANDE CHE SEMBRANO CRETINE (e, a volte, lo sono!).
Questa volta immagino che il problema fosse
«Determinare la parabola di fuoco F(- 2, - 1) e direttrice d ≡ y = - 3»
ma non ne ho la minima certezza: tu hai scritto solo "è corretto questo esercizio?"!
Però solo quello posso risolvere.
Impostazione
La direttrice parallela all'asse x dice che l'asse di simmetria è la parallela all'asse y che passa per F: x = - 2.
Quindi il vertice V(- 2, - 2) è il punto dell'asse di simmetria equidistante (|VF| = |Vd| = 1) da fuoco e direttrice.
Ripasso
Ogni parabola Γ non degenere con
* apertura a != 0
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
fuoco
* F(w, h + 1/(4*a))
direttrice
* d ≡ y = h - 1/(4*a)
Risoluzione
* V(w, h) = (- 2, - 2)
* F(w, h + 1/(4*a)) = (- 2, - 2 + 1/(4*a)) = (- 2, - 1) ≡ a = 1/4
* d ≡ y = h - 1/(4*a) = - 2 - 1/(4*a) = - 3 ≡ a = 1/4
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 ≡ y = - 2 + (1/4)*(x - (- 2))^2 ≡ y = (x^2 + 4*x - 4)/4