[Risolto] PARABOLA

a.   

Riscriviamo le equazioni del fascio

$Γ(k): -y+x^2-4 + k(-y+x^2-3x) = 0$

$Γ(k): -(k+1)y+(k+1)x^2- 3kx -4  = 0$

oppure se k ≠ -1

$Γ(k): y = x^2 -\frac{3k}{k+1}x - \frac{4}{k+1}$

Quindi Γ(k) rappresenta un fascio di parabole se k ≠ -1. Per k = -1 si ha la retta verticale $x = \frac{4}{3}$

b.    Punti base.

Risolviamo il sistema composto dalle due generatrici

$\left\{\begin{aligned} y &= x^2-4 \\ y &= x^2-3x \end{aligned} \right.$

La cui soluzione è $x = \frac{4}{3} \land y = -\frac{20}{9}$

Un solo punto base A(4/3, -20/9)

c.   Parabole tangenti alla retta r: y = 2x-5

impostiamo il sistema retta r: e fascio. Imponiamo la tangenza ponendo il discriminante dell'equazione di secondo grado in x eguale a zero e determinando il valori di k che la rendono vera.

$\left\{\begin{aligned} y &= x^2 -\frac{3k}{k+1}x - \frac{4}{k+1} \\ y &= 2x-5 \end{aligned} \right.$

Si risolve per confronto

$(k+1)x^2-(5k+2)x+1+5k = 0$

imponiamo il discriminante eguale a zero

Δ = k(5k-4) 

se lo annulliamo si ottengono due soluzioni

$k_1 = 0; \quad k_2 = \frac{4}{5}$

alle quali corrispondono le due parabole

$1) \quad \gamma_1: y = x^2 - 4$ che è una generatrice

$2) \quad \gamma_2: y = x^2 -\frac {3(\frac{4}{5})}{1+\frac{4}{5}}x - \frac{4}{1+\frac{4}{5}} $

$2) \quad \gamma_2: y = x^2 -\frac {4}{3}x - \frac{20}{9}$