Data la parabola dl equazione $\gamma: x=2 y^2-8 y+9$, determina l'equazione della retta parallela alla retta di equazione $x-2 y=0$ e che stacca sulla parabola una corda di lunghezza part a $3 \sqrt{5}$
Data la parabola dl equazione $\gamma: x=2 y^2-8 y+9$, determina l'equazione della retta parallela alla retta di equazione $x-2 y=0$ e che stacca sulla parabola una corda di lunghezza part a $3 \sqrt{5}$
2166
punti
Livello 2
{x = 2·y^2 - 8·y + 9
{x - 2·y + c = 0
Quindi per sostituzione:
x = 2·y - c
2·y^2 - 8·y + 9 + c - 2·y = 0
2·y^2 - 10·y + c + 9 = 0
Δ/4 = (-5)^2 - 2·(c + 9)
Δ/4 = 7 - 2·c
y1 = (-5 - √(7 - 2·c))/2
y2 = (-5 + √(7 - 2·c))/2
Δy = y2-y1= (-5 + √(7 - 2·c))/2 - (-5 - √(7 - 2·c))/2
Δy = √(7 - 2·c)
x1 = 2·(-5 - √(7 - 2·c))/2 - c
x2 = 2·(-5 + √(7 - 2·c))/2 - c
Δx = x2 -x1 =2·(-5 + √(7 - 2·c))/2 - c - (2·(-5 - √(7 - 2·c))/2 - c)
Δx = 2·√(7 - 2·c)
√((2·√(7 - 2·c))^2 + √(7 - 2·c)^2) = 3·√5
√5·√(7 - 2·c) = 3·√5----> c = -1
x - 2·y - 1 = 0
90141
punti
Genius II
Le rette del fascio improprio
* r(q) ≡ y = x/2 + q
di cui la retta data
* x - 2*y = 0 ≡ y = x/2
è r(0), intersecano la parabola
* γ ≡ x = 2*y^2 - 8*y + 9
nelle soluzioni del sistema
* (y = x/2 + q) & (x = 2*y^2 - 8*y + 9) ≡
≡ A(5 - 2*q - √(7 - 4*q), (5 - √(7 - 4*q))/2) oppure B(5 - 2*q + √(7 - 4*q), (5 + √(7 - 4*q))/2)
che, per essere estremi di una corda, hanno da essere punti reali e distinti, cioè con
* Δ(q) = 7 - 4*q > 0 ≡ q < 7/4
in tal caso la loro distanza positiva è
* |AB| = d(q) = √(5*(7 - 4*q))
da cui il sistema risolutivo
* (√(5*(7 - 4*q)) = 3*√5) & (q < 7/4) ≡ q = - 1/2
e la retta richiesta
* r(- 1/2) ≡ y = (x - 1)/2
57171
punti
Genius I