Determina per quali valori di $k$ la parabola di equazione $\gamma: x=k y^2-(k-3) y-1$ :
Passa per l'origine;
Ha la concavità rivolta verso sinistra;
Ha il vertice nel punto $V(2,1)$.
Determina per quali valori di $k$ la parabola di equazione $\gamma: x=k y^2-(k-3) y-1$ :
Passa per l'origine;
Ha la concavità rivolta verso sinistra;
Ha il vertice nel punto $V(2,1)$.
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Livello 2
Il fascio di parabole
* Γ(k) ≡ x = k*y^2 - (k - 3)*y - 1
ha solo due casi particolari
* Γ(0) ≡ y = (x + 1)/3, degenere su una retta semplice
* Γ(3) ≡ x = 3*y^2 - 1, con asse di simmetria sull'asse y
e il caso generale, per k != 0,
* Γ(k) ≡ x = k*(y + (3/k - 1)/2)^2 - (k^2 - 2*k + 9)/(4*k)
di vertice
* V((1 - 3/k)/2, - (k^2 - 2*k + 9)/(4*k))
Risposte ai quesiti
a) passa per l'origine se e solo se
* 0 = k*0^2 - (k - 3)*0 - 1 ≡ ∄ k ∈ R
b) ha concavità verso x < 0 se e solo se l'apertura è k < 0.
c) ha vertice V(2, 1) se e solo se
* ((1 - 3/k)/2, - (k^2 - 2*k + 9)/(4*k)) = (2, 1) ≡
≡ ((1 - 3/k)/2 = 2) & (- (k^2 - 2*k + 9)/(4*k) = 1) & (k != 0) ≡
≡ (k = - 1) & (∄ k ∈ R) & (k != 0) ≡
≡ ∄ k ∈ R
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Genius I