Nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse $y$, tangenti alla retta di equazione $y=-x+2$ nel suo punto di ascissa 1, determina la parabola passante per il punto $\mathrm{P}(2 ;-1)$.
Nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse $y$, tangenti alla retta di equazione $y=-x+2$ nel suo punto di ascissa 1, determina la parabola passante per il punto $\mathrm{P}(2 ;-1)$.
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Livello 2
a.
Il fascio di parabole generato da una retta y = m₀*x + q₀ tangente nel punto T(x₀, y₀) è dato dalla
Γ(k): y = m₀*x + q₀ + k(x - x₀)²
Nel nostro caso
$Γ(k): y = -x + 2 +k(x-1)^2 $
$Γ(k): y = kx^2 - (2k+1)x + 2 + k $
b.
Parabola del fascio passante per P(2, -1)
Introduciamo le coordinate di P nell'equazione del fascio e determiniamo il valore di k che la rende vera.
-1 = 4k - 2(2k+1) +2 + k ⇒ k = -1
l'equazione della parabola è
y = -x^2 + x +1
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Livello 2
@cmc Cmc,
Il fascio di parabole generato da una retta y = m₀*x + q₀ tangente nel punto T(x₀, y₀) è dato dalla
Γ(k): y = m₀*x + q₀ + k(x - x₀)²
questa è una formula giusto? Grazie
Si è giusta e deriva dalla formula del fascio di parabole passante per due punti A, B.
Quest'ultima non è altro che
y = m₀x + q₀ + k(x-xA)(x-xB)
dove y = m₀*x + q₀ è l'equazione della retta AB.
Nel caso nostro il punto A coincide con il punto B e lo chiameremo punto di tangenza T, mentre la retta AB diventerà la retta tangente in T(x₀, y₀) per cui
y = m₀*x + q₀ +k(x-x₀)²
@cmc Grazie cmc gentilissimo
Può essere utile un ragionamento da bar, comunque intuitivo.
Considera il fascio si parabole passanti per due punti A, B.
Le due generatrici sono:
-) la retta secante AB
-) la coppia di rette verticali (x-xA)(x-xB)
Prendi il punto A, avvicinalo a B tanto da farlo coincidere, e indichiamolo con T
-) La retta secante si trasformerà in retta tangente
-) La coppia costituita dalle due rette verticali sarà rappresentata da una coppia di rette coincidenti (x-xT)
La retta y = 2 - x di pendenza meno uno ha, all'ascissa uno, il punto di tangenza T(1, 1).
Le parabole con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
hanno equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
e pendenza
* dy/dx = m(x) = 2*a*(x - w)
---------------
Fra di esse costituiscono il fascio richiesto tutte e sole quelle che passano per T con pendenza meno uno
* passano per T: 1 = h + a*(1 - w)^2
* con pendenza meno uno: m(1) = 2*a*(1 - w) = - 1
cioè
* (1 = h + a*(1 - w)^2) & (2*a*(1 - w) = - 1) & (a != 0) ≡
≡ (w = (2*a + 1)/(2*a)) & (h = (4*a - 1)/(4*a))
da cui
* Γ ≡ y = (4*a - 1)/(4*a) + a*(x - (2*a + 1)/(2*a))^2 ≡
≡ y = a*x^2 - (2*a + 1)*x + (a + 2)
---------------
Il vincolo d'appartenenza di P(2, - 1) è
* - 1 = a*2^2 - (2*a + 1)*2 + (a + 2)
da cui
* a = - 1
* y = - x^2 + x + 1
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