a. Equazioni del fascio
$Γ(k): y-x^2+2x-1+k(y+x^2-4x-1) = 0 $
$Γ(k): (1+k)y = (1-k)x^2 +(4k-2)x +1+k $
$Γ(k): y = \frac{1-k}{1+k}x^2 + \frac{4k-2}{1+k}x +1; \qquad k\ne -1 $
b.
⊳ Punti base.
Le intersezioni tra le due parabole sono le soluzioni del sistema
$ \left\{\begin{aligned} y &= x^2+2x-1 \\ y &= -x^2+4x+1 \end{aligned} \right. $
le cui soluzioni sono:
- x = (1-√5)/2 ⇒ y = 3(1-√5)/2 per cui A((1-√5)/2, 3(1-√5)/2)
- x = (1+√5)/2 ⇒ y = 3(1+√5)/2 per cui B((1+√5)/2, 3(1+√5)/2)
⊳ Parabole degeneri.
- la retta AB è una parabola degenere. L'equazione della retta è y = 3x (si vede a occhio, bisogna guardare bene)
- La coppia di rette. $x_A = \frac{1-√5}{2} \quad x_B = \frac{(1+√5)}{2}$