Scrivi l'equazione del fascio generato dalle seguenti parabole:
$$
\gamma: y=x^2-2 x+1
$$
e $\quad r^{\prime}: y=-x^2+4 x+1$
Successivamente, studia il fascio ottenuto determinando le caratteristiche delle parabole del fascio, eventuali punti base e parabole degeneri.
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punti
Livello 2
a. Equazioni del fascio
$Γ(k): y-x^2+2x-1+k(y+x^2-4x-1) = 0 $
$Γ(k): (1+k)y = (1-k)x^2 +(4k-2)x +1+k $
$Γ(k): y = \frac{1-k}{1+k}x^2 + \frac{4k-2}{1+k}x +1; \qquad k\ne -1 $
b.
⊳ Punti base.
Le intersezioni tra le due parabole sono le soluzioni del sistema
$ \left\{\begin{aligned} y &= x^2+2x-1 \\ y &= -x^2+4x+1 \end{aligned} \right. $
le cui soluzioni sono:
⊳ Parabole degeneri.
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punti
Livello 2
@cmc Cmc perdonami, ma non mi risultano le 2 equazioni del sistema ovvero le 2 generatrici (questione di segni) quindi non risultandomi le due generatrici il sistema mi da punti base differenti. Sbaglio i calcoli? Fascio di parabole congruenti? Ultima domanda La parabola è degenere per la retta che passa per i 2 p.ti base, non capisco come ci si arriva. Grazie cmc
1. Spero di aver compreso il problema
l'equazione della parabola generatrice è y = x^2-2x+1 che può essere riscritta come
y-x^2+2x-1 = 0 ed è quella che compare nell'equazione del fascio.
Anche a me disturba l'inversione del segno ma l'alternativa -y+x^2-2x+1 = 0 non credo sia migliore.
2. Fascio di parabola congruenti, significa che l'apertura delle parabole è eguale per tutte le parabole. In termini matematici significa che tutte le parabole hanno il modulo del coefficiente del termine quadratico cioè |a| eguale. Nel fascio proposto questo è vero visto che le generatrici hanno a = 1
3. La retta che passa per i due punti base è una parabola degenere.
ho riprodotto 3 parabole passanti per i punti base A(0,0) e B(1,0).
Come puoi notare più il coefficiente moltiplicativo è piccolo più la derivata si spancia.
Supponi ora di far tendere a zero tale fattore allora la parabola assumerà la forma della retta passante per AB. In altre parole la parabola degenera in una retta.
@cmc OK CHIARO GRAZIE CMC GENTILISSIMO COME SEMPRE!
