Considera il fascio di parabole di equazione:
$$
y=k x^2+(k+1) x-2 k+1
$$
Dopo averne determinato i punti base $A$ e $B$, scrivi le equazioni delle parabole del fascio aventi vertici rispettivamente in $A$ e $B$ e verifica che sono simmetriche rispetto al punto medio di $A B$.
$$
\left[A(1,2), B(-2,-1) ; y=\frac{1}{3} x^2+\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}, y=-\frac{1}{3} x^2+\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}\right]
$$
2168
punti
Livello 2
y = k·x^2 + (k + 1)·x - 2·k + 1 è il fascio che riscrivo:
k·x^2 + (k + 1)·x - 2·k + 1 - y = 0
k·(x^2 + x - 2) + x - y + 1 = 0
Punti base del fascio
{x^2 + x - 2 = 0
{x - y + 1 = 0
dalla prima:
(x - 1)·(x + 2) = 0---> x = -2 ∨ x = 1
-2 - y + 1 = 0---> y = -1
[-2, -1]
1 - y + 1 = 0--> y = 2
[1, 2]
-------------------------------------
Parabole del fascio con vertici in [-2, -1] ed in [1, 2]
y = k·x^2 + (k + 1)·x - 2·k + 1
a = k
b = k + 1
c = 1 - 2·k
Δ = (k + 1)^2 - 4·k·(1 - 2·k) = 9·k^2 - 2·k + 1
Coordinate del vertice:
[- b/(2·a), - Δ/(4·a)]
{- (k + 1)/(2·k) = -2
{- (9·k^2 - 2·k + 1)/(4·k) = -1
Dal sistema si ottiene : k = 1/3
y = 1/3·x^2 + (1/3 + 1)·x - 2·(1/3) + 1
y = x^2/3 + 4·x/3 + 1/3
{- (k + 1)/(2·k) = 1
{- (9·k^2 - 2·k + 1)/(4·k) = 2
Dal sistema si ottiene: k = - 1/3
y = (- 1/3)·x^2 + (- 1/3 + 1)·x - 2·(- 1/3) + 1
y = - x^2/3 + 2·x/3 + 5/3
Rimane da dimostrare che :
Le due parabole sono simmetriche fra loro rispetto al punto medio dei due punti base trovati.
90142
punti
Genius II
