[Risolto] PARABOLA

In questi esercizi si considerano solo parabole con asse di simmetria paralleli all'asse delle x o in alternativa all'asse delle y. Dai punti A(1,0) e B(4,0) riportati sul grafico si deduce che l'asse di simmetria è parallelo all'asse delle y, quindi l'equazione canonica sarà del tipo

$y = ax^2 + bx +c$

Il problema trova soluzioni, impostando il sistema di 3 equazioni nelle incognite a, b, c oppure usando il concetto di fascio di parabole. Useremo il fascio poiché lo ritengo più semplice riguardo i calcoli da eseguire.

a.  Equazione del fascio di parabole passanti per i punti A(1,0) e B(4,0).

• • Parabola degenere, ovvero retta AB. y = 0
  • Parabola degenere, ovvero copia di rette verticali (x-1)(x-4) = 0
  • Equazione del fascio. $Γ(k): y = k(x-1)(x-4) = k(x^2-5x+4)$

b.  Parabola del fascio passante per c(0,4)

• • $ 4 = k\cdot 4 \quad \implies \quad   k =1 $ 
  • Parabola $y =  x^2-5x+4$

c.  Equazione retta // alla retta r: y = -2x tangente alla parabola $y =  x^2-5x+4$

• • Rette parallele alla retta r: y = -2x + q (è l'equazione di un fascio improprio di rette)
  • Intersezione parabola/fascio rette

$ \left\{\begin{aligned} y &=  x^2-5x+4 \\ y &= -2x + q \end{aligned} \right.$

Per confronto. 

Il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado in x vale

Δ = 4q-7

La condizione di tangenza implica che il discriminante sia nullo, cioè

$q = \frac{7}{4}$

La retta tangente ha equazione

$ y = -2x + \frac{7}{4} $