Equazione del fascio $ Γ(k): y = x^2-2(k-3)x+1 ≡ y=x^2+6x+1-2kx = 0$
L''unica soluzione del sistema delle due parabole
$\left\{\begin{aligned} y&=x^2+6x+1 \\ -2x &=0 \end{aligned} \right.$
è "x=0 & y=1" cioè il punto A(0, 1)
a. Stessa simmetria della parabola $ γ_1: y = 2x^2-6x+1$
- Asse di simmetria $γ_1: \text{ ovvero } x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$
- Asse di simmetria della generica parabole del fascio Γ(k)
$x = -\frac{b}{2a} = k-3$
Per avere lo stesso asso di simmetria è necessario che
$ k-3 = \frac{3}{2}$ cioè $k = \frac{9}{2}$
b. Vertice sulla retta r: y = x +1
Le coordinate del vertice $V(V_x, V_y)$ della generica retta del fascio sono
-) $V_x = -\frac{b}{2a} = k-3$ (già incontrato in precedenza)
-) $V_y = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{4(k-3)^2-4}{4} = -k^2+6k-8$
Tale punto sta sulla retta r: se soddisfa l'equazione della retta stessa cioè
$V_y = V_x + 1$
$-k^2+6k-8 = k-3+1$
che ammette le due soluzioni k = 2 V k = 3
c. Segmento sull'asse x lungo d = 4.
- equazione asse x. ovvero l'equazione y = 0
- Intersezione generica parabola del fascio con l'asse delle x.
Poniamo y=0 e otteniamo
$x^2-2(k-3)x+1 = 0$
le cui due soluzioni sono
$ x = k-3 \pm \sqrt{k^2-6k+8}$ con y = 0
La misura del segmento pari alla distanza d tra le due soluzioni si ottiene sottraendo la minore dalla maggiore per cui
$ d = 4 = 2 \sqrt{k^2-6k+8}$
semplificando il 2 e quadrando
$ 4 = k^2-6k+8 $
$ k = 3 \pm \sqrt{5}$
