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[Risolto] PARABOLA.

  

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Considera il fascio di parabole di equazione:

$$
y=x^2-2(k-3) x+1
$$

e determina gli eventuali punti base del fascio. Stabilisel qulndl per quall valori dl $k$ ln corrispondente parabola del fascio:
a. ha lo stesso asse di simmetria della parabola di cquazione $y=2 x^2-6 x+1$;
b. ha il vertice sulla retta di equazione $y=x+1$;
c. individua sull'asse $x$ un segmento di misura uguale a $d$.

$$
\left[\text { Puntu buse: }(0,1) ; \text { n. } k=\frac{y}{2} ; \text { b. } k=2 \vee k=3 ; \mathbf{c}, k=3 \pm \sqrt{5}\right]
$$

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Equazione del fascio $ Γ(k): y = x^2-2(k-3)x+1 ≡ y=x^2+6x+1-2kx = 0$

  • Punti base. 

 L''unica soluzione del sistema delle due parabole 

$\left\{\begin{aligned} y&=x^2+6x+1 \\ -2x &=0 \end{aligned} \right.$

è "x=0 & y=1" cioè il punto A(0, 1)

a.  Stessa simmetria della parabola $ γ_1: y = 2x^2-6x+1$

  • Asse di simmetria $γ_1: \text{  ovvero  } x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$
  • Asse di simmetria della generica parabole del fascio  Γ(k)

$x = -\frac{b}{2a} = k-3$

Per avere lo stesso asso di simmetria è necessario che

$ k-3 = \frac{3}{2}$ cioè $k = \frac{9}{2}$

b.   Vertice sulla retta r: y = x +1

Le coordinate del vertice $V(V_x, V_y)$  della generica retta del fascio sono

-) $V_x = -\frac{b}{2a} = k-3$  (già incontrato in precedenza)

-) $V_y = -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{4(k-3)^2-4}{4} = -k^2+6k-8$

Tale punto sta sulla retta r: se soddisfa l'equazione della retta stessa cioè

$V_y = V_x + 1$

$-k^2+6k-8 = k-3+1$

che ammette le due soluzioni k = 2  V  k = 3

c. Segmento sull'asse x lungo d = 4.

  • equazione asse x. ovvero l'equazione y = 0
  • Intersezione generica parabola del fascio con l'asse delle x.

Poniamo y=0 e otteniamo

$x^2-2(k-3)x+1 = 0$  

le cui due soluzioni sono

$ x = k-3 \pm \sqrt{k^2-6k+8}$  con  y = 0

La misura del segmento pari alla distanza d tra le due soluzioni si ottiene sottraendo la minore dalla maggiore per cui

$ d = 4 = 2 \sqrt{k^2-6k+8}$

semplificando il 2 e quadrando

$ 4 = k^2-6k+8 $

$ k = 3 \pm \sqrt{5}$ 

 

@cmc Grazie mille cmc, sempre disponibile

 



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SOS Matematica

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