[Risolto] PARABOLA

Parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y,; ciò significa che l'equazione è della forma y=ax²+bx+c.

Scriviamo dapprima l'equazione del fascio Γ(k) di parabole degeneri composto dalla retta AB e dalla coppie di rette verticali passanti per A e per B. 

a. Fascio Γ(k)

• retta passante per AB. y = -4x + 2
• coppia di rette // all'asse y passanti per A e per B. (x-Ax)(x-Bx) = x(x+4) = x²+4x
• Equazione del fascio. Γ(k): y = -4x+2 + k(x²+4x)

b. Parabole del fascio tangenti all'asse x

Imponiamo che l'intersezione tra fascio Γ(k) e asse x abbia una unica soluzione, cioè imponiamo che il discriminante Δ dell'equazione di secondo grado in x sia nullo

• Equazione asse x. y=0
• Intersezione fascio/asse

$ \left\{\begin{aligned} y &= -4x+2 + k(x^2+4x) \\ y &= 0 \end{aligned} \right.$

$ kx^2 + 4(k-1)x + 2 = 0$

$ Δ = 16(k-1)^2 -8k $

$ Δ = 0 \quad \implies \quad 2k^2-5k+2 =0$

le cui due soluzioni sono

$k_1 = \frac{1}{2} \, \lor \, k_2 = 2$

a cui corrispondono le due parabole

$γ_1 = Γ(1/2): \quad y = -4x+2+\frac{1}{2}(x^2+4x); \text{ovvero} y = \frac{x^2}{2}-2x+2$

$γ_2 = Γ(2): \quad y = -4x+2+2(x^2+4x); \text{ovvero} y = \frac{x^2}{2}-2x+2$

y = a·x^2 + b·x + c

2 = a·0^2 + b·0 + c passa per [0, 2]

quindi: c = 2

18 = a·(-4)^2 + b·(-4) + c

16·a - 4·b + 2 = 18

b = 4·a - 4

Metto a sistema:

{y = a·x^2 + (4·a - 4)·x + 2

{y = 0

a·x^2 + (4·a - 4)·x + 2 = 0

Δ/4 = 0

(2·a - 2)^2 - 2·a = 0

a = 1/2 ∨ a = 2

quindi:

y = 1/2·x^2 + (4·(1/2) - 4)·x + 2

y = x^2/2 - 2·x + 2

y = 2·x^2 + (4·2 - 4)·x + 2

y = 2·x^2 + 4·x + 2

y = ax^2 + bx + c

passa per A(0,2) e B(-4,18)

A(0,2) => c = 2 

B(-4,18) => 18 = 16a -4b +2 => 16a -4b = 16

è tangente all'asse x => ordinata del vertice: Yv = -(b^2-4ac)/2a = 0 => b^2 = 4ac => b^2 = 8a

sitema:

16a  -4b = 16

b^2 = 8a

b= 4a -4

16a^2 -32a +16 = 8a

16a^2 -40a +16 = 0

/

2a^2 -5a +2 = 0

/

a12 = (5 +-3)/4 = 1/2, 2

b = -2, 4

y = 1/2x^2 -2x +2     V     y=2x^2 +4x +2

Le parabole Γ con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h) hanno equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
fra di esse quelle tangenti all'asse x hanno
* h = 0
* Γ ≡ y = a*(x - w)^2
I vincoli d'appartenenza di A(0, 2) e di B(- 4, 18) determinano gli altri due parametri
* (2 = a*(0 - w)^2) & (18 = a*(- 4 - w)^2) ≡
≡ (a = 1/2) & (w = 2) oppure (a = 2) & (w = - 1)
da cui
* Γ1 ≡ y = (x - 2)^2/2
* Γ2 ≡ y = 2*(x + 1)^2