Scrivi l'eqauzione della parabola passante per i punti A(0,3) e B(2,2) e avente come asse di simmetria la retta di equazione x=1/2.
Scrivi l'eqauzione della parabola passante per i punti A(0,3) e B(2,2) e avente come asse di simmetria la retta di equazione x=1/2.
Determiniamo dapprima l'equazione del fascio di parabole generato dalla retta AB (parabola degenere) e dalla coppia di rette passanti per A e per B (altra parabola degenere. Tra queste sceglieremo quella che ha come asse di simmetria x= 1/2.
a. Fascio Γ(k)
b. Parabola con asse di simmetria x = 1/2
Dalla formula dell'asse di simmetria x = - b/(2a) ricaviamo
$ x = \frac {(\frac{1}{2} +2k)}{2k}$
$ x = \frac {1+4k}{4k}$
imponiamo che tale asse valga 1/2
$ \frac{1}{2} = \frac {1+4k}{4k}$
per cui
$k = -\frac{1}{2}$
Per ottenere l'equazione della parabola, sostituiamo tale valore nel fascio
$Γ(-\frac{1}{2}): y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + 3$
Considerato che la traccia ci lascia libertà di svolgimento
procedo nel modo più semplice
y = ax^2 + bx + c
{ 3 = a*0^2 + b*0 + c => c = 3
{ - b/(2a) = 1/2 => b = -a
y = ax^2 - ax + 3
2 = 4a - 2a + 3
2a = 2-3
a = -1/2
y = -1/2 x^2 + 1/2 x + 3
Riscontro grafico
https://www.desmos.com/calculator/nworwf73by
Le parabole Γ con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h) hanno equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
fra di esse quelle con asse di simmetria la retta x = 1/2 hanno
* w = 1/2
* Γ ≡ y = h + a*(x - 1/2)^2
I vincoli d'appartenenza di A(0, 3) e di B(2, 2) determinano gli altri due parametri
* (3 = h + a*(0 - 1/2)^2) & (2 = h + a*(2 - 1/2)^2) ≡
≡ (a = - 1/2) & (h = 25/8)
da cui
* Γ ≡ y = 25/8 - (x - 1/2)^2/2