[Risolto] PARABOLA

Determiniamo dapprima l'equazione del fascio di parabole generato dalla retta AB (parabola degenere) e dalla coppia di rette passanti per A e per B (altra parabola degenere. Tra queste sceglieremo quella che ha come asse di simmetria x= 1/2.

a.  Fascio Γ(k)

• retta passante per AB. y = -x/2 + 3  
• copia di rette per A e per B. (x-Ax)(x-Bx) = x(x-2) = x²-2x
• Equazioni del fascio.
  • • $Γ(k): y = -\frac{x}{2} + 3 +k(x^2-2x)$   ovvero
    • $Γ(k): y = kx^2 -(\frac{1}{2} +2k)x + 3$  

b.  Parabola con asse di simmetria x = 1/2

• Asse di simmetria generica di una generica parabola del fascio.

Dalla formula dell'asse di simmetria x = - b/(2a) ricaviamo

$ x = \frac {(\frac{1}{2} +2k)}{2k}$

$ x = \frac {1+4k}{4k}$

imponiamo che tale asse valga 1/2

$ \frac{1}{2} = \frac {1+4k}{4k}$

per cui

$k = -\frac{1}{2}$

Per ottenere l'equazione della parabola, sostituiamo tale valore nel fascio

$Γ(-\frac{1}{2}): y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} + 3$

Considerato che la traccia ci lascia libertà di svolgimento

procedo nel modo più semplice

y = ax^2 + bx + c

{ 3 = a*0^2 + b*0 + c => c = 3

{ - b/(2a) = 1/2 => b = -a

y = ax^2 - ax + 3

2 = 4a - 2a + 3

2a = 2-3

a = -1/2

y = -1/2 x^2 + 1/2 x + 3

Riscontro grafico

https://www.desmos.com/calculator/nworwf73by

Le parabole Γ con asse parallelo all'asse y, apertura a != 0, vertice V(w, h) hanno equazione
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2
fra di esse quelle con asse di simmetria la retta x = 1/2 hanno
* w = 1/2
* Γ ≡ y = h + a*(x - 1/2)^2
I vincoli d'appartenenza di A(0, 3) e di B(2, 2) determinano gli altri due parametri
* (3 = h + a*(0 - 1/2)^2) & (2 = h + a*(2 - 1/2)^2) ≡
≡ (a = - 1/2) & (h = 25/8)
da cui
* Γ ≡ y = 25/8 - (x - 1/2)^2/2