E' lungo - svolgo prima a) b) c)
a) La parabola passa per l'origine, ha il vertice in
V = (-b/(2a), yV) = (2,2), volge la concavità verso il basso
e incontra l'asse x in O e in (4,0)
https://www.desmos.com/calculator/ncxy4rxqgr
L'area del segmento parabolico é per il Teorema di Archimede
Sp = 2/3 * b * h = 2/3*4*2 = 16/3
o, con la formula di Francesco,
Sp = sqrt(D^3)/6a^2 con D = 4 e a^2 = 1/4
Sp = sqrt(64)/(6/4) = 8 : 3/2 = 8*2/3 = 16/3
b) y = ax^2 + bx
con 36a - 6b = 0 => b = 6a e a < 0
y = ax^2 + 6ax
I 9/16 di 16/3 sono 9/3 = 3
Ragionando come prima
2/3 * (0 - (-6)) * |yV| = 3
6 |yV| = 9/2
il vertice é il punto di ordinata massima essendo a negativo
yV = 3/4
- D/(4a) = 3/4
D = -3a = 36 a^2
e, poiché a non può essere zero, 12a = -1 => a = -1/12 e b = 6a = -1/2
L'equazione di gamma2 é allora y = -1/12 x^2 - 1/2 x
c) y = mx
con gamma1
-1/2 x^2 + 2x = mx
1/2 x^2 + (m-2) x = 0
Delta = 0
(m - 2)^2 - 0 = 0
m = 2
y = 2x (t1, r)
Con gamma2
-1/12 x^2 - 1/2 x = mx
1/12 x^2 + (m + 1/2) x = 0
Delta = 0
(m + 1/2)^2 - 0 = 0
m = -1/2
y = -1/2 x (t2, s)
d) - b/2 = 3 => b = -6 per entrambe le circonferenze cercate
x^2 + y^2 + ax - 6y + c = 0
d1) tangente a r
y = 2x
x^2 + 4x^2 + ax - 12x + c = 0
5x^2 + (a-12)x + c = 0
(a-12)^2 - 20c = 0
y = -1/2 x
x^2 + 1/4 x^2 + ax + 3x + c = 0
5/4 x^2 + (a + 3) x + c = 0
D = 0
(a+3)^3 - 5c = 0
c = (a-12)^2/20 = (a+3)^2/5
(a-12)^2 = 4(a+3)^
|a-12| = |2(a+3)|
Dunque
a - 12 = 2a + 6
2a - a = -12 - 6
a = -18 e c = (-18-12)^2/20 = 900/20 = 45
x^2 + y^2 - 18x - 6y + 45 = 0
oppure
a - 12 = - 2a - 6
a + 2a = 12 - 6
3a = 6
a = 2
c = (2-12)^2/20 = 100/20 = 5
x^2 + y^2 + 2x - 6y + 5 = 0
Grafico con Desmos
https://www.desmos.com/calculator/5uiolanvxn
