[Risolto] PARABOLA

La parabola
* Γ1 ≡ y = 2*x^2 + 2*x + 1 ≡ y = 2*(x + 1/2)^2 + 1/2
ha
* vertice V1(- 1/2, 1/2)
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La parabola
* Γ2 ≡ y = 2*x^2 - 2*x + 2 ≡ y = 2*(x - 1/2)^2 + 3/2
ha
* vertice V2(1/2, 3/2)
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Avendo la medesima apertura (a1 = a2 = a = 2 > 0) le due parabole sono
* congruenti (medesima distanza focale f = 1/(4*|a|))
* e coorientate (a1*a2 > 0)
quindi sono ottenute per traslazione dallo stesso prototipo
* Γ0 ≡ y = 2*x^2
ed è ovvio che la verifica richiesta vada a buon fine: si tratta del modulo della traslazione che porta dall'una all'altra parabola! Tale modulo, distanza fra i due vertici, è
* |V1V2| = √2
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La richiesta tangente comune "t" non può essere parallela all'asse y perché già lo sono gli assi di simmetria né all'asse x perché i vertici hanno ordinate diverse, quindi deve intersecare entrambi gli assi e avere la forma
* t(m, q) ≡ y = m*x + q
i cui due parametri si determinano dai vincoli imposti dalle condizioni di tangenza (discriminante nullo della risolvente di ciascuno dei due sistemi t & Γ).
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1) t & Γ1 ≡ (y = m*x + q) & (y = 2*x^2 + 2*x + 1)
* risolvente: 2*x^2 + 2*x + 1 - (m*x + q) = 0
* Δ1(m, q) ≡ m^2 - 4*m + 4*(2*q - 1)
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2) t & Γ2 ≡ (y = m*x + q) & (y = 2*x^2 - 2*x + 2)
* risolvente: 2*x^2 - 2*x + 2 - (m*x + q) = 0
* Δ2(m, q) ≡ m^2 + 4*m + 4*(2*q - 3)
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* (Δ1 = 0) & (Δ2 = 0) ≡
≡ (m^2 - 4*m + 4*(2*q - 1) = 0) & (m^2 + 4*m + 4*(2*q - 3) = 0) ≡
≡ (m = 1) & (q = 7/8)
da cui
* t(1, 7/8) ≡ y = x + 7/8
* (y = x + 7/8) & (y = 2*x^2 + 2*x + 1) ≡ T1(- 1/4, 5/8)
* (y = x + 7/8) & (y = 2*x^2 - 2*x + 2) ≡ T2(3/4, 13/8)
* |T1T2| = √2 = |V1V2|
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-7%2F8%3Dx%2Cy-1%2F2%3D2*%28x--1%2F2%29%5E2%2Cy-3%2F2%3D2*%28x-1%2F2%29%5E2%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D0to4