[Risolto] Parabola

La famiglia delle parabole non degeneri con
* asse di simmetria parallelo all'asse y
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione
* Γ(a, w, h) ≡ y = h + a*(x - w)^2
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I vincoli d'appartenenza di A(0, 1) e B(- 2, 5) sono
* (1 = h + a*(0 - w)^2) & (5 = h + a*(- 2 - w)^2) ≡
≡ (w = (1 - a)/a) & (h = ((3 - a)*a - 1)/a)
e riducono Γ(a, w, h) al fascio
* Γ(a) ≡ y = ((3 - a)*a - 1)/a + a*(x - (1 - a)/a)^2 ≡
≡ y = a*x^2 + 2*(a - 1)*x + 1
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Il sistema
* (y = 2*x) & (y = a*x^2 + 2*(a - 1)*x + 1) & (a != 0)
ha risultante
* a*x^2 + 2*(a - 1)*x + 1 - 2*x = 0 ≡
≡ x^2 + 2*(1 - 2/a)*x + 1/a = 0
con discriminante che, per la tangenza, dev'essere zero
* Δ(a) = 4*(a - 1)*(a - 4)/a^2 = 0 ≡
≡ (a = 1) oppure (a = 4)
da cui
* Γ(1) ≡ y = x^2 + 1
* Γ(4) ≡ y = 4*x^2 + 6*x + 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%2Cy-1%3Dx%5E2%2C4*x%5E2%3Dy-6*x-1%5D