Ci ho pensato. Non ho una formula da ricettario magico e non so se esista, ma ho sviluppato
un ragionamento trigonometrico che mi ha comunque permesso di arrivare ai risultati.
Avvertenza : alcune delle cose che ho scritto sono superflue, ma non ho avuto il tempo di
togliere quelle inutili.
Prima parte.
Applicando il Teorema di Carnot si possono determinare i tre angoli
10 = 16 + 18 - 2*4*3 rad(2) cos B^
24 rad(2) cos B^ = 34 - 10
cos B^ = 24/(24 rad(2)) = 1/rad(2)
Analogamente per gli altri due
18 = 10 + 16 - 2*rad(10) * 4 cos A^
8 rad(10) cos A^ = 26 - 18
cos A^ = 8/(8 rad(10)) = 1/rad(10)
e
16 = 10 + 18 - 2*3* rad(20) cos C^
6*2 rad(5) cos C^ = 28 - 16
cos C^ = 12/(12 rad(5)) = 1/rad(5)
Ora abbiamo i tre angoli
S = AB* hAB /2 = 4/2 * BC sin B^ = 2*3 rad(2) * rad(2)/2 = 6
da cui anche hBC = 2S/BC = 12/(3 rad(2)) = 2 rad(2)
e hAC = 2S/AC = 12/rad(10) = 12/10 rad(10) = 6/5 rad(10).
Seconda parte.
Se chiamiamo K, P, Q i piedi delle tre altezze appena calcolate
(hAB, hBC e hAC)
AK = AC cos A^ = rad(10) * 1/rad(10) = 1
e naturalmente KB = AB - AK = 4 - 1 = 3
Ora il triangolo AHK é rettangolo perché CK é altezza
e HAB^ = PAB^ = 90° - B^ perché PAB é rettangolo
per definizione di altezza e quindi ha gli angoli acuti complementari.
Da questo segue
HA cos (90 - B^) = 1
HA = 1/sin B^ = 1/(rad(2)/2) = rad(2)
e analogamente ma cambiando i nomi
HB cos (90° - A^) = KB
HB sin A^ = 3
HB = 3/sin A^ = 3/sqrt(1 - 1/10) = 3/(3/rad(10)) = rad(10)
Infine
HK = HA sin A^ = rad(2)*rad(2)/2 = 1
HC = CK - HK = 3 - 1 = 2.
