Numero di soluzioni f(x)=k

f(x) ha dominio limitato ( [-rad(3), rad(3) ]) ed é nulla agli estremi

Cerchi il minimo ed il massimo assoluto, anche del quadrato

(x-1)^2 * (3 - x^2)e siano m ed M

per k = m o k = M => una soluzione

per m < k < 0 e  0 < k < M => due soluzioni 

per k = 0 => tre soluzioni : x = 1, x = - rad(3), x = rad(3)

per k < m V k > M => nessuna soluzione

https://www.desmos.com/calculator/4oasstrn9e

$ f(x) = (x-1) \sqrt{3-x^2} $

Eseguiamo un veloce studio di funzione

• Dominio = [-√3, √3]
  • La funzione è continua in tutto il suo dominio e derivabile in (-√3, √3).

Il dominio è chiuso e limitato (compatto) per Weirestrass esistono sia il massimo assoluto che il minimo assoluto. Tali valori sono da cercare tra i punti interni stazionari e i punti alla frontiera e, ma non è il nostro caso, tra i punti interni singolari.

• Valori assunti dalla funzione in frontiera.
  • f(-√3) = 0
  • f(√3) = 0
• Punti stazionari
  • derivata prima $ f'(x) = \frac {-2x^2+x+3}{\sqrt{3-x^2}} $
  • punti stazionari $ f'(x) = 0 \; ⇒ \; x_1 = -1 \; \lor \; x_2 = \frac{3}{2} $
• Segno della derivata prima
  • $f'(x) < 0;$ per $ -\sqrt{3} < x < -1  \; \lor  \; \frac{3}{2} < x < \sqrt{3}$   la funzione ivi decresce
  • $f'(x) = 0; $ per $ x_1 = -1 \; \lor \; x_2 = \frac{3}{2}$ 
  • $f'(x) > 0; $per $ -1 < x <  \frac{3}{2}$                              la funzione ivi cresce
• Valori del max/min
  • $maxf(x) = f(\frac{3}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{4}$
  • $minf(x) = f(-1) = -2\sqrt{2}$

I segni discordi del massimo e minimo ci suggeriscono la presenza di almeno un altro zero tra i due punti. Calcoliamolo risolvendo l'equazione $ (x-1) \sqrt{3-x^2} = 0$ 

• Zeri
  • x = -√3
  • x = √3
  • x = 1

Uno schizzo chiarisce le idee.

Conclusione:

• Nessuna soluzione per $k < -2\sqrt{2} \; \lor \; k > \frac{\sqrt{3}}{4}$
• Una soluzione per $k = -2\sqrt{2} \; \lor \; k = \frac{\sqrt{3}}{4}$
• Due soluzioni per $ -2\sqrt{2} < k < 0 \; \lor \; 0 < k < \frac{\sqrt{3}}{4}$
• Tre soluzioni per $k = 0$