[Risolto] Numero di soluzioni

Premesso che la funzione per x che tende a 0+ tende a  meno infinito, mentre per x che tende a + infinito tende a + infinito. ne consegue che la funzione dovrà cambiare segno per uno (o più valori) di x > 0. Ciò detto si dimostra che...vedi allegato

• Il teorema degli zeri (Bolzano) ci assicura che esiste almeno una soluzione.
• La stretta monotonia ci certifica che è unica.

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1. Le ipotesi del teorema di Bolzano sono verificate. 
   1. 1. La funzione diverge a -∞ per x→0⁺
      2. La funzione diverge a -∞ per x→+∞
      3. La funzione è continua in (0, +∞) essendo somma di funzioni continue.
2. La funzione è strettamente crescente in (0, +∞) essendo somma di tre funzioni crescenti
   1. 1. y = x²+1 è strettamente crescente in (0, +∞)
      2. y = - 1/x è strettamente crescente in (0, +∞)
      3. y = arctan(x) è strettamente crescente in (0, +∞)

Calcoli i due limiti per x che tende a 0+ (-oo) e

pe x che tende a +oo. La conclusione è garantita dal teorema degli zeri che si può applicare perché la funzione e' continua in ogni intervallo del tipo 

[a,b] con a > 0

La soluzione è unica perché

y' = 2x+1/x^2 +1/(1+x^2)

e' sempre positiva per x>0

e quindi la funzione a sinistra è sempre crescente.