Stabilisci la posizione reciproca delle rette $r: 3 x-1=y+4=z$ e $s: 2 x-2=-3 y-6=6 z-12$.
[perpendicolari e incidenti]
ho scritto entrambe le due rette nella forma parametrica e mi trovo Vr(1/3;1;1) mentre Vs(1/2;-1/6;1/12) ma, in questo modo, non mi trovo con il risultato cioè che dovrebbero risultare perpendicolari
83
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Livello 1
L'esercizio 45 dà le rette
* r ≡ 3*x - 1 = y + 4 = z di cursore R(u, 3*u - 5, 3*u - 1) e versore (1, 3, 3)/√19
* s ≡ 2*x - 2 = - 3*y - 6 = 6*z - 12 di cursore S(3*v - 5, 2 - 2*v, v) e versore (3, - 2, 1)/√14
e ne chiede la posizione reciproca che dipende dal minimo della funzione
* |RS|^2 = d(u, v) = 19*(u - 1)^2 + 14*(v - 2)^2
se tale minimo è
* unico e positivo allora r ed s sono sghembe
* unico e nullo allora r ed s sono complanari e incidenti
* non unico e positivo allora r ed s sono complanari e parallele
* non unico e nullo allora r ed s sono coincidenti
nel caso in esame si vede che
d(u, v) >= d(1, 2) = 0
quindi r ed s sono complanari e incidenti in (1, - 2, 2).
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L'angolo θ fra i versori è dato dalla doppia definizione del prodotto scalare
* r.s = ((1, 3, 3)/√19).((3, - 2, 1)/√14) = (3*1 - 2*3 + 1*3)/√266 = 0 = |r|*|s|*cos(θ) = cos(θ) ≡
≡ θ = arccos(0) = π/2
che è proprio il risultato atteso.
57150
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Genius I
(x - 1/3)/(1/3) = (y - (-4))/1 = (z - 0) /1
vr = (1/3 1 1)
(x - 1)/(1/2) = (y -(-2))/(-1/3) = (z-2)/(1/6)
vs = (1/2 -1/3 1/6)
vr*vs = 1/6 - 1/3 + 1/6 = (1 - 2 + 1)/6 = 0
sono perpendicolari
45401
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Livello 7
3·x - 1 = y + 4 = z
2·x - 2 = - 3·y - 6 = 6·z - 12
sono le due rette r ed s
Pongo z=t nella prima:
3·x - 1 = y + 4 = t
risolvo: x = (t + 1)/3 ∧ y = t - 4
Retta r:
{x = t/3 + 1/3
{y = t - 4
{z = t
Vr[1/3,1,1]
Analogamente:
2·x - 2 = - 3·y - 6 = 6·t - 12
risolvo in t:
{x = 3·t - 5
{y = 2 - 2·t
{z = t
Vs[3,-2,1]
Vr*Vs=1/3·3 + 1·(-2) + 1·1= 0 sono perpendicolari
90049
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Genius II
