Pierluigi, con un software CAD, ha disegnato un triangolo isoscele $A B C$ di vertice $B$, con l'altezza $B H$ congruente alla base $A C$. Tracciata la circonferenza inscritta nel triangolo, di cen. tro $O$, Pierluigi osserva con l'aiuto del software che i rapporti $\frac{\overline{A H}}{\overline{O H}}$ e $\frac{\overline{O H}}{\overline{A H}-\overline{O H}}$ sono uguali, ossia il raggio della circonferenza inscritta è la sezione aurea di $A H$.
Dimostra la proprietà che ha trovato Pierluigi.
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Livello 2
Svolgo la dimostrazione seguendo una linea un pò differente rispetto a quella che il testo si aspetta.
Se dico K la proiezione del centro O sul lato AB,
i due triangoli rettangoli OKB e AHB sono simili perché hanno in comune l'angolo acuto alfa = B^/2.
Detto beta il complementare di alfa
scriveremo OK/AH = KB/BH
che per ipotesi equivale a OK / AH = (AB - AH)/(2AH)
per il teorema di Pitagora AB^2 = AH^2 + BH^2 = AH^2 + AC^2 = AH^2 + (2AH)^2 =
= AH^2 + 4AH^2 = 5AH^2
e AB = AH rad(5)
OK = (AH rad(5) - AH)/2 = AH * (rad(5) - 1)/2 = AH * phi
essendo phi il rapporto aureo
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Livello 7
Sul triangolo isoscele si hanno i seguenti simboli e relazioni
* b = lato di base
* s = b/2 = semibase
* h = √(L^2 - s^2) = altezza su b
* L = √(h^2 + s^2) = lato di gamba
* p = 2*(L + s) = 2*L + b = perimetro
* S = s*h = b*h/2 = area
* r = 2*S/p = 2*s*h/(2*(L + s)) = h*s/(√(h^2 + s^2) + s) = inraggio
da cui il rapporto da studiare
* f(h) = r/s = h/(√(h^2 + s^2) + s)
che, per h = 2*s > 0, diventa
* f(s) = r/s = 2*s/(√((2*s)^2 + s^2) + s) = 2/(1 + √5) = 1/ϕ
QED
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Genius I
