numeri complessi

Question

[attach]103071[/attach] come posso risolvere questo esercizio?

cmc · Answer

Per induzione. Preferisco fare un cambio di variabile, forse non è necessario.

m = n+2

L'identità da verificare è quindi

$(1 + i)^{n + 2} = 2 \cdot i^{n + 1} (1 - i)^{n}$

ho ribattezzato con la n la m. Operazione banale, forse inutile ma preferisco lavorare con esponenti positivi.

$(1 + i)^{2} = 2 \cdot i^{1} (1 - i)^{0}$

$2 i = 2 \cdot i \cdot 1 = 2 i$ OK.

Passo induttivo
- Ipotesi induttiva. $(1 + i)^{n + 2} = 2 \cdot i^{n + 1} (1 - i)^{n}$
- Tesi. $(1 + i)^{n + 2 + 1} = 2 \cdot i^{n + 1 + 1} (1 - i)^{n + 1}$

$(1 + i) (1 + i)^{n + 2} = 2 \cdot i \cdot i^{n + 1} (1 - i) (1 - i)^{n + 1}$

Usiamo l'ipotesi induttiva

$(1 + i) 2 \cdot i^{n + 1} (1 - i)^{n} = 2 \cdot i \cdot i^{n + 1} (1 - i) (1 - i)^{n}$

semplifichiamo

$(1 + i) = i \cdot (1 - i)$

$1 + i = i + 1$ OK.

cmc

(@cmc)

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31/01/2025 23:01