numeri complessi

Per induzione. Preferisco fare un cambio di variabile, forse non è necessario.

m = n+2

L'identità da verificare è quindi

$ (1+i)^{n+2} = 2 \cdot i^{n+1}(1-i)^n $

ho ribattezzato con la n la m. Operazione banale, forse inutile ma preferisco lavorare con esponenti positivi.

• Passo base. n = 0

$ (1+i)^2 = 2 \cdot i^1 (1-i)^0 $

$ 2i = 2\cdot i \cdot 1 = 2i $ OK.

• Passo induttivo
  • Ipotesi induttiva.$ (1+i)^{n+2} = 2 \cdot i^{n+1}(1-i)^n $
  • Tesi. $ (1+i)^{n+2+1} = 2 \cdot i^{n+1+1}(1-i)^{n+1} $

$ (1+i) (1+i)^{n+2} = 2 \cdot i \cdot i^{n+1}(1-i)(1-i)^{n+1} $

Usiamo l'ipotesi induttiva

$ (1+i) 2 \cdot i^{n+1}(1-i)^n = 2 \cdot i \cdot i^{n+1}(1-i)(1-i)^n $

semplifichiamo

$ (1+i) = i \cdot (1-i) $

$ 1+i = i + 1 $         OK.