Numeri Complessi

Il modulo di un numero complesso è un numero reale.

Un numero reale quando è uguale a 2i + 2iz?

Solamente se 2i + 2iz non ha parte complessa quindi la parte reale di z dev’essere necessariamente - 1 (in questo modo 2i + 2iz si annulla).

Quindi z = -1 +ib, il suo coniugato - 1 - ib. 
Il modulo sarà quindi $ \sqrt {1 + b^2} $ che dovrà essere uguale a - 2b

Risolvendo si ottiene b = - $ \frac 1 {\sqrt 3} $

La soluzione positiva va scartata poiché una radice non può essere uguale ad un numero negativo.

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Qui sotto la soluzione dell’equazione senza il modulo, svolta per errore

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Considerato z = a + ib, il suo coniugato sarà conj(z) = a - ib.

Sostituendo nell’ uguaglianza si ottiene:

a - ib = 2i + 2i(a +ib)

da cui

a - ib = 2i(1 + a) - 2b

per cui, uguagliando parte reale con parte reale e parte complessa con parte complessa si ottengono le due uguaglianze:

a = - 2b

- b = 2 + 2a 

che, a sistema, danno:

$ a = - \frac 4 3 $ e $ b = \frac 2 3 $

per cui

z = $ - \frac 4 3 + \frac 2 3 i $

Se non ti spiace io riaggiusterei un po' la scrittura, per capire meglio.
* "|conj(z)|=2i+2iz" ≡ |z'| = i*2*(z + 1) ≡ |x - i*y| = i*2*(x + i*y + 1)
così si vede che
* z != 0, altrimenti 0 = i*2 non sarebbe un'identità;
* z + 1 dev'essere un'immaginario negativo così che il prodotto con i*2 possa essere reale positivo come il primo membro;
* quindi che (Re[z] = x = - 1) & (Im[z] = y < 0).
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Riscrivo ancora
* (|- 1 - i*y| = i*2*(- 1 + i*y + 1)) & (y < 0) ≡
≡ (√((- 1)^2 + y^2) = - 2*y) & (y < 0) ≡
≡ y = - 1/√3
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CONCLUSIONE
* z = - 1 - i/√3
* z' = - 1 + i/√3
* |z'| = 2/√3
* i*2*(- 1 - i/√3 + 1) = i*(- i*2/√3) = 2/√3
CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+abs%28conjugate%28z%29%29%3D2*i+-+-+2*i*z

@exprof a me era uscito a=-1 e b=0. Ho trasformato tutto in forma algebrica e poi ho messo a sistema la parte reale e quella immaginaria.

... così ?

"|conj(z)|=2i+2iz" ≡ |z'| = i*2*(z + 1) ----> |a-i*b| = 2*i(a+i*b +1) ---->  sqrt( a² + b²) = 2*ia- 2b +2i ---> essendo sqrt( a² + b²) >= 0 ---> vale il sistema

{ 2*ia +2i = 0

e

{- 2b = sqrt(a² + b²)   

---> intanto si osserva che b<0 ---> e  risolvendo:

{a = -1     

e     

{4b² = 1² + b²

{a = -1     

e     

{3b² = 1

{a = -1     

e     

{b =( + )-1 /sqrt3                 {b>0 , come visto, è da scartare}

p.s. 

i link wolfram... qui non funzionano ... il programma si mangia i segni +   ... e lo staff pare impotente!