non riesco a risolvere questo esercizio

Question

Il triangolo isoscele A B C ha i lati obliqui  overline {A B}= overline {A C}=6$ e l'angolo al vertice B  widehat {A C}=2 x.a. Determina il rapporto f(x)= frac {r_i}{r_c} fra il raggio r_i della circonferenza inscritta e quello r_c della circonferenza circoscritta; dimostra che può essere scritto nella forma f(x)=2  sin x(1- sin x)$.b. Trova per quale valore di x è r_c=2 r_i e calcola, per tale valore di x, r_i, r_c, perimetro e area del triangolo A B C.[b)  left .x= frac { pi }{6} ; r_i= sqrt {3} ; r_c=2  sqrt {3} ; 2 p=18 ; S=9  sqrt {3} right ]$     Argomento: trigonometria [attach]86294[/attach]

cmc · Accepted Answer

a.

Indico con D il punto medio del lato BC. Ne consegue che AD è l'altezza del triangolo ABC.

Considero il triangolo rettangolo ADC; l'angolo CDA sarà pari a x; da cui

DC = AC*sin(x) = 6*sin(x)
BC = 2*DC = 12*sin(x)
AD = AC*cos(x) = 6*cos(x)
Area triangolo ABC. S = AD*BC/2 = 36*sin(x)*cos(x)
Perimetro ABC. 2p = 12+12*sin(x) = 12(1+sin(x))
Semiperimetro ABC. p = 6(1+sin(x))

passiamo al calcolo dei raggi

raggio circonferenza inscritta. ri = S/p = 6*sin(x)cos(x) / (1+sin(x))
raggio circonferenza circoscritta. rc = AB*AC*BC/4S = 3/(cosx)
f(x) = ri / rc = 6*sin(x)*cos(x)*cos(x) / (3*(1+sin(x)) = 2*sin(x)(1-sin(x))

b.

rc = 2*ri

1/cos(x) = 2*6sin(x)*cos(x) / (1+sin(x))

1+sin(x) = 4sin(x)cos^2(x)

1+sin(x) = 4sin(x)(1-sin^2(x))

1 = -4*sin^3(x) +3*sin(x)

il 2° membro non è altro che il seno di 3x per cui

1 = sin(3x)

3x = π/2 + 2kπ; con k numero intero

x = π/6 + 2kπ/3

L'unica soluzione accettabile per il triangolo è

x = π/6

a questo punto si tratta di fare un po' di conti, lascio a te l'onere.

2p = 12(1+ 1/2) = 18

.....

Area. S = 36*√3/2*1/2 = 9√3

cmc

(@cmc)

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15/08/2024 17:55

[Risolto] non riesco a risolvere questo esercizio

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