Non capisco l'errore?

Hai sbagliato a raccogliere!! Raccogliendo il 6, per eguagliare l'espressione con il raccoglimento a quella precedente, dovresti dividere ogni membro della tua serie per 6, ogni membro è separato da un segno di addizione e non di moltiplicazione, per cui, quando vorresti raccogliere fino a 101 dovresti scrivere:

$1+6(1+1+\frac{5}{6}+1+\frac{10}{6}+...1+\frac{95}{6})$

I tuoi 6 non possono scomparire semplicemente dall'espressione, diventano tutti 1, e i loro complementari diventano una frazione con denominatore 6.

Se vuoi semplificare la tua espressione, puoi ricavare l'n-esimo numero della successione secondo:

$S_n=1+5(n-1)$ dove $n \in \mathbb{N}$ è la posizione del numero nella successione. Ad ex. se volessi trovare il 16° numero nella successione: 

$S_{16}=1+5 \cdot 15 = 76$. In particolare, l'ultimo numero della tua successione sembra essere 101, la sua posizione nella successione si ricava nella maniera inversa: 

$5(n-1)+1=101 \implies 5n =105 \implies n=21$.

[1 + (1 + 5)] + (6 + 5 * 1) + (6 + 5 * 2)  + (6 + 5 * 3) + (6 + 5 * 4) + (6 + 5 * 5)....

ultimo termine = 101; tralasciamo i primi due termini 1 e 6 ;  (1 + 6 = 7);

seguono i termini che crescono di 5;

6 + 5 * n:

per n = 1; a1 =  6 + 5 * 1 = 11;

per n = 2; a2 = 6 + 5 * 2 = 16;  (a1 + 5);

per n= 3; a3 = 6 + 5 * 3 = 21;  a2 + 5);.....

101 = 6 + 5 * n;

5 * n = 101 - 6 ;

n = 95 / 5 = 19 ;

progressione aritmetica

somma dei 19 termini da a1 = 11, ad a19 = 101;

Somma = n * (an + a1) / 2

Somma dei 19 termini = 19 * (11 + 101) / 2 = 19 * 112 / 2 = 1064;

Somma totale = [1 + 6] + 1064 = 1071.

I termini sono 10 + 2 = 21 in totale.

@fede-uwu ciao

n = 107*11-106 = 1071 (Gauss dixit)