Trovo una possibile contraddizione fra il tema (che dice "si consideri l'iperbole Γ ..." e poi dà un elenco di tre proprietà fra cui manca l'essere equilatera) e la tua impostazione (che dice "... vettori ortogonali ... l'altro asintoto ...") perché gli asintoti sono ortogonali solo se i semiassi sono eguali, anche se in ogni caso gli assi sono le loro bisettrici.
Le rette date
* asse r ≡ x - 2*y + 1 = 0 ≡ y = (x + 1)/2
* asintoto a ≡ y - 1 = 0 ≡ y = 1
incidono nel centro C(1, 1) e quindi consentono di determinare
* asse s ≡ y = 1 - 2*(x - 1) ≡ y = 3 - 2*x
ma non
* asintoto b ≡ BOH???
in quanto le pendenze (- 2, 1/2) degli assi sull'asintoto non sembrano qualificarlo come bisettrice (sarebbero ± 1) come si può facilmente vedere anche ad occhio sul prossimo grafico.
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Essendo gli assi le bisettrici degli asintoti, ed essendo l'asintoto a inclinato di - arctg(1/2) rispetto all'asse r, allora l'asintoto b, dovendo essere il simmetrico, è la retta per C con pendenza
* m = tg(2*arctg(1/2)) = 4/3
cioè
* asintoto b ≡ y = 1 + (4/3)*(x - 1) ≡ y = (4*x - 1)/3
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Il controllo grafico della situazione assodata fin qui
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x-1%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%3D1%2C%28x--1%29%5E2%2B%28y--2%29%5E2%3D1%2F400%2C%28%28x--1%29%2F2-y%29*%281-2*%28x-1%29-y%29%3D0%2C%28y-1%29*%28%284%2F3%29*%28x-1%29-y--1%29%3D0%5D
mostra che, se un ramo di Γ deve passare per A(- 1, - 2) il pallino giù a sinistra, allora l'asse trasverso dev'essere
* asse s ≡ y = 3 - 2*x
quindi i fuochi devono essere
* F1(1 - k, 1 + 2*k)
* F2(1 + k, 1 - 2*k)
distanti dal centro la semidistanza focale
* c = |CF| = |k|*√5 = √(a^2 + b^2)
dove (a, b) sono le misure dei semiassi, sulle quali c'è anche il vincolo che "± b/a" sono le pendenze degli asintoti sull'asse trasverso.
L'asintoto a (che scelta infelice che ho fatto! Dovevo chiamarli (1, 2) e non coi nomi (a, b) dei semiassi. Sono un po' andato, abbi pazienza.) ha sull'asse s inclinazione complementare di quella sull'asse r (- arctg(1/2)); perciò, s.e.&o., dev'essere
* b/a = tg(arcotg(1/2)) = 2 ≡ b = 2*a
e infine
* (b = 2*a) & (|k|*√5 = √(a^2 + b^2)) ≡
≡ (a = |k| > 0) & (b = 2*|k|)
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Avendo il solo parametro k a determinare sia i fuochi che l'asse trasverso 2*a si può scrivere la definizione euclidea dell'iperbole come luogo dei P(x, y) per cui vale
* | |PF1| - |PF2| | = 2*a ≡
≡ (|√((x + k - 1)^2 + (y - 2*k - 1)^2) - √((k + 1 - x)^2 + (y + 2*k - 1)^2)| = 2*k) & (k > 0) ≡
≡ ((√((x + k - 1)^2 + (y - 2*k - 1)^2) - √((k + 1 - x)^2 + (y + 2*k - 1)^2))^2 - 4*k^2 = 0) & (k > 0) ≡
≡ ((4*k^2)*(3*y^2 - 4*x*y) + 2*(4*k^2)*(2*x - y) - (4*k^2)*(4*k^2 + 1) = 0) & (k > 0) ≡
≡ ((3*y^2 - 4*x*y) + 2*(2*x - y) - (4*k^2 + 1) = 0) & (k > 0)
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Su questa forma si scrive il vincolo d'appartenenza di A(- 1, - 2)
* ((3*(- 2)^2 - 4*(- 1)*(- 2)) + 2*(2*(- 1) - (- 2)) - (4*k^2 + 1) = 0) & (k > 0) ≡
≡ k = √3/2
da cui infine
* Γ ≡ (3*y^2 - 4*x*y) + 2*(2*x - y) - (4*(√3/2)^2 + 1) = 0 ≡
≡ 3*y^2 - 4*x*y + 4*x - 2*y - 4 = 0
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Vedi
i grafici al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B3*y%5E2-4*x*y-2*y-4%3D-4*x%2C%28x--1%29%5E2%2B%28y--2%29%5E2%3D1%2F400%2C%28%28x--1%29%2F2-y%29*%281-2*%28x-1%29-y%29%3D0%2C%28y-1%29*%28%284%2F3%29*%28x-1%29-y--1%29%3D0%5D
i grafici e il paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=asymptotes+3*y%5E2-4*x*y-2*y-4%3D-4*x
il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=plane+curve+3*y%5E2-4*x*y-2*y-4%3D-4*x
