Nel fascio di parabole con asse parallelo all'asse x

x = (k/2 + 1) y^2 - (k + 2) y + 3/2

V = (-D/(4a). - B/(2A) )

D = (k + 2)^2 - 6(k/2 + 1) =

= (k + 2)^2 - 3(k + 2) =

= (k + 2) (k + 2 - 3) =

= (k + 2)(k - 1)

- D/(4A) = (1 - k)(k + 2)/[2(k + 2)]

Se k é diverso da - 2

xV(k) = (1 - k)/2

yV(k) = (k + 2)/(k + 2) = 1 se k =/= -2

Per k =/= -2 i vertici sono sulla retta di equazione y = 1

https://www.desmos.com/calculator/jz0jyshqqe

Il fascio
* Γ(k) ≡ 2*x - (k + 2)*y^2 + 2*(k + 2)*y - 3 = 0
ha parametrici due soli dei quattro coefficienti, ma con la stessa espressione e quindi ha un solo caso particolare per k = - 2, una parabola degenere su una retta semplice
* Γ(- 2) ≡ 2*x - 3 = 0 ≡ x = 3/2
e, per k != - 2, il caso generale
* Γ(k) ≡ x = ((k + 2)*y^2 - 2*(k + 2)*y + 3)/2 ≡
≡ x = ((k + 2)/2)*(y^2 - 2*y + 3/(k + 2)) ≡
≡ x = ((k + 2)/2)*((y - 1)^2 - 1 + 3/(k + 2)) ≡
≡ x = ((k + 2)/2)*((y - 1)^2 - (k - 1)/(k + 2)) ≡
≡ x = ((k + 2)/2)*(y - 1)^2 - (k - 1)/2
da cui leggere le proprietà geometriche
* apertura a = (k + 2)/2 != 0
* concavità rivolta verso
** x < 0 se a < 0, cioè per k < - 2
** x > 0 se a > 0, cioè per k > - 2
* vertice V(1, - (k - 1)/2)
che risponde al primo quesito mostrando che tutte le parabole del fascio hanno lo stesso asse di simmetria, x = 1.
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La risposta al secondo quesito "Di che tipo di fascio si tratta?" viene dalle osservazioni precedenti
* tutte le parabole del fascio hanno lo stesso asse
* l'apertura a = (k + 2)/2 è parametrica
* l'ordinata yV = - (k - 1)/2 è parametrica
quindi le parabole devono essere secanti in due punti base: intersecandone due si trovano B(3/2, 0) e B(3/2, 2).
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=table%5Bx%3D%28%28k--2%29%2F2%29*%28y-1%29%5E2-%28k-1%29%2F2%2C%7Bk%2C-2%2C2%7D%5D