n74 calcolare il dominio

Problema:

Si calcoli il dominio della seguente funzione:

$y=(\sqrt{2x}-x)^{-\sqrt{2}}$

Soluzione:

Dato che una radice con indice pari non può possedere argomento negativo in $\mathbb{R}$, esso deve essere positivo od al più nullo. Dato che l'espressione può esser riscritta sotto forma di frazione, si deve anche avere che il denominatore debba esser diverso da zero e maggiore od uguale di zero per via del proprio esponente.

$y=(\sqrt{2x}-x)^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{(\sqrt{2x}-x)^{\sqrt{2}}}$

Per calcolare il dominio è dunque necessario selezionare, tramite sistema, la condizione che soddisfi in contemporanea ciò detto in precedenza.

(i) $2x≥0 \rightarrow x≥0$

(ii) $\sqrt{2x}-x>0 \rightarrow 2x >x² \rightarrow x(x-2)<0 \rightarrow 0<x<2$

Ponendo (i) ed (ii) a sistema si ottiene dunque:

$D=(0,2)$