[Risolto] n422

La parabola è del tipo:

y = a·x^2 + c

essendo vertice e fuoco sull'asse delle ordinate (x=0) quindi funzione pari

Il termine noto vale:

4 = a·0^2 + c----> c = 4

1/(4·a) = 15/4 - 4---> a = -1

La parabola è: y = - x^2 + 4

(La direttrice ha equazione: y = 4 + 1/4---> y = 17/4)

Tenendo conto della simmetria del problema rispetto asse delle y e della tangenza all'asse delle x, le circonferenza devono avere equazioni del tipo:

x^2 + y^2 + b·y = 0

messa a sistema con

y = - x^2 + 4

Procedo per sostituzione:

x^2 = 4 - y

(4 - y) + y^2 + b·y = 0

y^2 + y·(b - 1) + 4 = 0

Δ = 0 condizione di tangenza:

(b - 1)^2 - 16 = 0----> b^2 - 2·b - 15 = 0

(b + 3)·(b - 5) = 0

quindi: b = 5 ∨ b = -3

Equazioni circonferenze:

x^2 + y^2 + 5·y = 0 ;  x^2 + y^2 - 3·y = 0

Risolvo quindi due sistemi:

{x^2 + y^2 + 5·y = 0, y = - x^2 + 4}

da questo ottengo: (x = - √6 ∧ y = -2) ∨ (x = √6 ∧ y = -2)

{x^2 + y^2 - 3·y = 0, y = - x^2 + 4}

da questo ottengo: (x = - √2 ∧ y = 2) ∨ (x = √2 ∧ y = 2)

Abbiamo quindi 4 punti che determinano un trapezio isoscele:

[- √6, -2] punto A

[√6, -2] punto B

[√2, 2] punto C

[- √2, 2] punto D

Base maggiore= ΑΒ = 2·√6

Base minore= CD= 2·√2

h = 4 altezza

Α = 1/2·(2·√6 + 2·√2)·4

Α = 4·√6 + 4·√2 = 4·(√6 +√2)

La parabola di vertice V(0, 4) e fuoco F(0, 15/4) = (0, yV + 1/(4*a)) ha
* asse di simmetria x = 0
* apertura a = - 1, quindi concavità rivolta verso y < 0
di conseguenza equazione
* Γp ≡ y = 4 - x^2
e zeri
* X1(0, - 2) oppure X2(0, 2)
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Il fascio delle circonferenze centrate sull'asse y e tangenti l'asse x è
* Γ(k) ≡ x^2 + (y - k)^2 = k^2
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Il sistema
* Γp & Γ(k) ≡ (y = 4 - x^2) & (x^2 + (y - k)^2 = k^2) ≡
≡ (x^2 = 4 - y) & (x^2 + (y - k)^2 = k^2)
ha risolvente
* 4 - y + (y - k)^2 - k^2 = 0 ≡
≡ y^2 - (2*k + 1)*y + + 4 = 0
con discriminante che, per la tangenza, deve annullarsi
* Δ(k) = 4*k^2 + 4*k - 15 = 0 ≡
≡ (k = - 5/2) oppure (k = 3/2)
da cui le circonferenze chieste nella consegna "a"
* Γ(- 5/2) ≡ x^2 + (y + 5/2)^2 = 25/4
* Γ(3/2) ≡ x^2 + (y - 3/2)^2 = 9/4
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I punti chiesti nella consegna "b" si trovano intersecando il complesso {parabola, asse x}
* y*(4 - x^2 - y) = 0 ≡ 4*y - y*x^2 - y^2 = 0
con quello delle due circonferenze
* (x^2 + (y + 5/2)^2 - 25/4)*(x^2 + (y - 3/2)^2 - 9/4) = 0 ≡
≡ (x^2 + y^2 + 5*y)*(x^2 + y^2 - 3*y) = 0
e ottenendo, dal basso in alto,
* A(- √6, - 2), B(+ √6, - 2): fra Γp e Γ(- 5/2), distanti 2*√6;
* O(0, 0): fra Γ(3/2) e Γ(- 5/2);
* D(- √2, 2), C(+ √2, 2): fra Γp e Γ(4/2), distanti 2*√2;
da cui l'area S, chiesta nella consegna "c", del trapezio isoscele ABCD: prodotto dell'altezza h = 4 per la media delle basi
* S = 4*(2*√6 + 2*√2)/2 = 4*(√6 + √2)
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B4*y-y*x%5E2-y%5E2%3D0%2C%28x%5E2--y%5E2--5*y%29*%28x%5E2--y%5E2-3*y%29%3D0%5Dx%3D-3to3%2Cy%3D-6to5
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-%E2%88%9A6%2C-2%29%28%E2%88%9A6%2C-2%29%28%E2%88%9A2%2C2%29%28-%E2%88%9A2%2C2%29