Trova quale condizione deve soddisfare il parametro affinché sia verificata l’uguaglianza.
Buongiorno, potete risolvermi questo esercizio? Grazie mille
Trova quale condizione deve soddisfare il parametro affinché sia verificata l’uguaglianza.
Buongiorno, potete risolvermi questo esercizio? Grazie mille
Problema:
Trova la condizione che il parametro $a$ deve soddisfare per verificare l'uguaglianza:
$\csc α =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ ove $π<α<\frac{3π}{2}$
Soluzione:
Per trovare la condizione necessaria affinché l'uguaglianza sia vera, bisogna analizzare i due casi estremi, tramite limite, $α=π$ (i) e $α=\frac{3π}{2}$ (ii).
Nota: si ricordi che $\csc (x)= \frac{1}{\sin x}$.
(i) $\lim_{α \rightarrow π} \csc (α) =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow +∞ =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ ciò è vero quando $a+1$ tende a $0$, ossia quando $a \rightarrow -1$.
(ii) $\lim_{α \rightarrow \frac{3π}{2}} \csc (α) =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow -1 =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$, ciò è vero quando $\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ tende a $-1$ ossia:
$\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow -1$
risolvendo come se fosse una equazione con incognita $a$ in $\mathbb{R}$
$a \rightarrow \frac{-1-√5}{2}$
Si ottiene dunque che la condizione che il parametro $a$ deve rispettare è la seguente:
$\frac{-1-√5}{2}<a<-1$