n250

Problema:

Trova la condizione che il parametro $a$ deve soddisfare per verificare l'uguaglianza:

$\csc α =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ ove $π<α<\frac{3π}{2}$

Soluzione:

Per trovare la condizione necessaria affinché l'uguaglianza sia vera, bisogna analizzare i due casi estremi, tramite limite, $α=π$ (i) e $α=\frac{3π}{2}$ (ii).

Nota: si ricordi che $\csc (x)= \frac{1}{\sin x}$.

(i) $\lim_{α \rightarrow π} \csc (α) =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow +∞ =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ ciò è vero quando $a+1$ tende a $0$, ossia quando $a \rightarrow -1$.

(ii) $\lim_{α \rightarrow \frac{3π}{2}} \csc (α) =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow -1 =\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$, ciò è vero quando $\frac{\sqrt{a+2}}{a+1}$ tende a $-1$ ossia:

$\frac{\sqrt{a+2}}{a+1} \rightarrow -1$

risolvendo come se fosse una equazione con incognita $a$ in $\mathbb{R}$

$a \rightarrow \frac{-1-√5}{2}$

Si ottiene dunque che la condizione che il parametro $a$ deve rispettare è la seguente:

$\frac{-1-√5}{2}<a<-1$