Se c'è un solo parametro io lo chiamo "k"; il nome "b" lo riserbo al coefficiente di y.
------------------------------
ESAME DELL'EQUAZIONE
Il fascio
* r(k) ≡ (k - 1)*x + (4 - k)*y - k = 0
ha parametrici tutt'e tre i coefficienti
* a = k - 1
* b = 4 - k
* c = - k
quindi genera tutt'e tre le rette particolari
* r(0) ≡ y = x/4, per l'origine
* r(1) ≡ y = 1/3, parallela all'asse x
* r(4) ≡ x = 4/3, parallela all'asse y
individuando il centro C(4/3, 1/3) e, per k != 4, si può esprimere in funzione della pendenza m e dell'intercetta q in quanto le sei richieste riguardano solo parallelismo e ortogonalità.
* r(k != 4) ≡ y = ((1 - k)/(4 - k))*x + k/(4 - k) ≡
≡ r(m, q) ≡ y = m*x + q
con
* m = (1 - k)/(4 - k) ≡ (k = (4*m - 1)/(m - 1)) & (m != 1)
* q = k/(4 - k) ≡ (k = 4*q/(q + 1)) & (q != - 1)
da cui si vede che il fascio non genera:
* la parallela alla bisettrice dei quadranti dispari, con m = 1 (quesito c);
* la retta per Y(0, - 1), con q = - 1 ((k - 1)*0 + (4 - k)*(- 1) - k = 0 ≡ - 4 = 0).
==============================
Come rispondere ai quesiti
------------------------------
a) ⟂ alla 3*y - 3*x + 4 = 0 ≡ y = x - 4/3, di pendenza m' = 1
* m = - 1/m' = - 1 ≡ k = 5/2
---------------
b) // alla retta congiungente O(0, 0) ad A(- 2, 4)
* AO ≡ y = - 2*x, di pendenza m = - 2
* m = - 2 ≡ k = 3
---------------
c) // alla bisettrice del primo e terzo quadrante
* m = 1 ≡ nessun k
---------------
... e così via.