[Risolto] n191

Dall'equazioni delle due circonferenze:

x^2 + y^2 - 2·y - 4/5 = 0

x^2 + y^2 + 6·y - 4/5 = 0

si riconoscono i centri ed i loro raggi:

[0, 1] e r1=√(0^2 + 1^2 + 4/5)--> r1 = 3·√5/5

[0, -3] e r2= √(0^2 + (-3)^2 + 4/5)---> r2 7·√5/5

Il rapporto fra i loro raggi:

7·√5/5/(3·√5/5) = 7/3

costituisce il rapporto fra le distanze dei loro centri dal punto di intersezione delle tangenti in comune: basta osservare i triangoli rettangoli simili che hanno per cateti minori i raggi delle circonferenze stesse e per ipotenusa le distanze dei centri dal punto di intersezione [0,y] delle tangenti situato per simmetria del problema sull'asse delle y.

Il rapporto tra le misure delle ipotenuse permette di stabilire tale punto:

(y + 3)/(y - 1) = 7/3----> y = 4----> [0,4]   (quindi q=4)

Calcolo di m (coefficiente angolare delle due tangenti)

{x^2 + y^2 - 2·y - 4/5 = 0

{y = 4 + m·x

risolvo per sostituzione:

x^2 + (4 + m·x)^2 - 2·(4 + m·x) - 4/5 = 0

x^2·(m^2 + 1) + 6·m·x + 36/5 = 0

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(3·m)^2 - 36/5·(m^2 + 1) = 0

9·m^2/5 - 36/5 = 0

risolvo: m = -2 ∨ m = 2

rette tangenti:

y = 4 - 2·x

y = 4 + 2·x

Procedo in via veramente brutale.

Cerco la generica tangente comune tramite la sua equazione esplicita y = mx + q

e sostituisco nelle equazioni delle due circonferenze. Vengono due risolventi, ognuna delle

quali dovrà avere delta = 0 per gli stessi valori di m e q.

Si dovrà utilizzare qualche accorgimento per non impazzire con i calcoli.

Risulta

x^2 + (mx + q)^2 - 2(mx + q) - 4/5= 0

x^2 + m^2x^2 + 2 m q x + q^2 - 2mx - 2q - 4/5 = 0

(1 + m^2) x^2 + 2m (q - 1) x + (q^2 - 2q - 4/5 ) = 0

e per l'altra equazione

x^2 + m^2 x^2 + 2mqx + q^2 + 6 mx + 6 q - 4/5 = 0

(1 + m^2) x^2 + 2m (q + 3) x + q^2 + 6q - 4/5 = 0

Imponendo Delta1 = Delta2 = 0 per la bitangenza, risulta il sistema

m^2(q - 1)^1 - (m^2 + 1)(q^2 - 2q - 4/5) = 0

m^2(q + 3)^2 - (m^2 + 1)( q^2 + 6 q - 4/5) = 0

Sviluppando i prodotti

m^2 q^2 - 2 m^2 q + m^2 - m^2 q^2 + 2 m^2 q + 4/5 m^2 - q^2 + 2q + 4/5 = 0

m^2 q^2 + 6 m^2 q + 9m^2 - m^2 q^2 + 6 m^2 q + 4/5 m^2 - q^2 - 6q + 4/5 = 0

Eliminando le coppie di opposti rimane :

m^2 + 4/5 m^2 - q^2 + 2q + 4/5 = 0

9m^2 + 4/5 m^2 - q^2 - 6q + 4/5 = 0

e finalmente, sottraendo la I dalla II,

8 m^2 - 8 q = 0 =>   q = m^2

Sostituendo nella I

q + 4/5 q - q^2 + 2q + 4/5 = 0

q^2 - 19/5 q - 4/5 = 0

5 q^2 - 19 q - 4 = 0

si può accettare solo la radice positiva essendo q = m^2

q = (19 +- rad(361 + 4*4*5))/10 = (19 +- rad(441))/10 =

= (19 + 21)/10 = 4

e da m^2 = 4 segue m1 = -2 e m2 = 2

Dunque le equazioni richieste sono

t1) y = -2x + 4;

t2) y = 2x + 4.

Le circonferenze
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 - 2*y - 4/5 = 0 ≡ x^2 + (y - 1)^2 = (3/√5)^2: C1(0, 1), r = 3/√5 ~= 1.34
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 6*y - 4/5 = 0 ≡ x^2 + (y + 3)^2 = (7/√5)^2: C2(0, - 3), R = 7/√5 ~= 3.13
secanti in (± 2/√5, 0) hanno solo due, quelle esterne, delle quattro possibili tangenti comuni; esse, simmetriche rispetto all'asse y, devono incontrarsi sull'asse centrale x = 0 in P(0, h), dove h > r + 1.
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Una di esse tange Γ1 in T1 e Γ2 in T2 formando con l'asse y due triangoli simili, rettangoli nei punti T, con
* |PC1|/|C1T1| = |PC2|/|C2T2| ≡
≡ |PC1| = (|C1T1|/|C2T2|)*|PC2| ≡
≡ h - 1 = (r/R)*(h + 3) ≡
≡ h = (R + 3*r)/(R - r) = (7/√5 + 3*3/√5)/(7/√5 - 3/√5) = 4
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Per sdoppiamento di Γ2 rispetto al polo P(0, 4) si ha la retta polare
* p ≡ x*0 + y*4 + 6*(y + 4)/2 - 4/5 = 0 ≡ y = - 8/5
che interseca Γ2 in
* T2a(- 14/5, - 8/5), T2b(14/5, - 8/5)
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Le tangenti richieste sono le congiungenti PT2
* PT2a ≡ y = 2*(2 + x)
* PT2b ≡ y = 2*(2 - x)
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%5E2--y%5E2-2*y-4%2F5%29*%28x%5E2--y%5E2--6*y-4%2F5%29%3D0%2C%282*%282--x%29-y%29*%282*%282-x%29-y%29%3D0%5D
e pure il grafico al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%5E2--y%5E2-2*y-4%2F5%29*%28x%5E2--y%5E2--6*y-4%2F5%29%3D0%2C%282*%282--x%29-y%29*%282*%282-x%29-y%29%3D0%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-7to5