[Risolto] N 59

$ f(x) = \frac {2^x +a}{4^x + b}$

a) Calcolo dei due parametri a, b.

Sostituendo le coordinate dei due punti, si ottiene un sistema di due equazioni nelle due incognite a, b

$ \left\{\begin{aligned} \frac {7}{15} &= \frac {2^0 +a}{4^0 + b} \\ \frac {1}{2} &= \frac {2 + a}{4 + b} \end{aligned} \right.$

la cui soluzione è a = -8, b = -16

.

b) $ f(x) = \frac {2^x -8}{4^x -16}$

• Dominio, D.

La funzione non è definita quando il denominatore si annulla, quindi

$4^x \ne 16 \, ⇒ \, x \ne 2$

$D = ℝ \setminus \{2 \}$

• Intersezione assi.
  • Asse y.

L'asse y ha equazione x = 0. Risolvendo il sistema "asse, funzione" si ottiene $f(0) = \frac {7}{15}$ il punto di intersezione ha coordinate (0, 7/15)

• • Asse x. 

L'asse x ha equazione y = 0. Risolvendo il sistema "asse, funzione" si ottiene $ 0 = 2^x-8$. il punto di intersezione ha coordinate (3, 0)

• Segno di f(x)
  • Segno del Numeratore
    • Positivo per x > 3
    • Negativo per x<3
  • Segno del Denominatore
    • Positivo per x > 2
    • Negativo per x<2

per cui, il segno della funzione f(x) risulterà

• • f(x) negativa nell'intervallo (2,3)
  • f(x) positiva per x < 2 o per x > 3

.

c) Risolvere $ 2^x \cdot f(x) = 1$

$2^x \cdot (2^x-8) = 4^x - 16$

$ 4^x -8 \cdot 2^x = 4^x - 16$

$ 8 \cdot 2^x = 16$  

$ x = 1$

Per ricavare i parametri $a$ e $b$:

\[\begin{cases}\frac{a+1}{b+1} = \frac{7}{15} \\
\frac{2+a}{4+b} = \frac{1}{2}\end{cases}\]

dove si è calcolata la funzione per i punti nel piano euclideo-cartesiano dati dalla traccia.

Si ha quindi la funzione

\[f(x) = \frac{2^x - 8}{2^{2x} -16}\,,\]

il cui dominio

\[\mathcal{D}:\mathbb{R}-{2}\] in quanto \[2^{2x}\neq 16\,.\]

Le intersezione con l'asse delle $y$ è $\left(0, \frac{7}{15}\right) \mid f(0) = y$; con l'asse delle $x$ è $\left(3, 0\right) \mid f(x) = 0 \iff x = 3$.

Il segno prova a calcolarlo te, ponendo

\[ f(x) > 0\,,\]

in modo tale da individuare gli intervalli topologici reali per cui la funzione è positiva e negativa e il punto in cui ammette lo zero.

Per il punto $d$:

\[2^x f(x) = 1 \mid f(x) =  \frac{2^x - 8}{2^{2x} -16} \implies 2^{2x} + 2^{x+3} = 2^{2x} + 2^4 \iff x + 3 = 4 \implies x = 1\,.\]

Imponendo il passaggio per i due punti si ottiene il sistema [(1 + a)/(1 + b) = 7/15, (2 + a)/(4 + b) = 1/2] che ha soluzione a=-8 e b=-16. Per il punto b) si tratta di fare lo studio della funzione. Per il punto c) posto 2^x=y si ha (y^2 - 8·y)/(y^2 - 16) = 1 da cui y=2 e quindi 2^x=2 e cioè x=1.