Considera la funzione $f(x)=\frac{a x^2+1}{x^2+b x+c}$. Determina $a, b, c$ in modo che ammetta come asintoto orizzontale la retta $y=2$ e come unico asintoto verticale la retta $x=-2$.
$$
[a=2, b=4, c=4
$$
Considera la funzione $f(x)=\frac{a x^2+1}{x^2+b x+c}$. Determina $a, b, c$ in modo che ammetta come asintoto orizzontale la retta $y=2$ e come unico asintoto verticale la retta $x=-2$.
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[a=2, b=4, c=4
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4
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Livello 0
y = (a·x^2 + 1)/(x^2 + b·x + c)
Funzione razionale fratta. Per avere asintoto orizzontale y=2 deve essere:
a/1 = 2----> a = 2
Per avere asintoto verticale unico x=-2 devono verificarsi due condizioni:
{Δ = 0
{(-2)^2 + b·(-2) + c = 0
con riferimento al denominatore cioè si devono avere due soluzioni reali e coincidenti relativamente quindi all'equazione:
x^2 + b·x + c = 0
Quindi:
{b^2 - 4·c = 0
{2·b - c = 4
se risolvi ottieni: [b = 4 ∧ c = 4]
Quindi la funzione è: y=(2x^2+1)/(x^2+4x+4)
(al denominatore c'è il quadrato di un binomio)
90131
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Genius II
Per avere uno e un solo asintoto verticale x = v con un denominatore di grado due occorre che questo sia proporzionale al quadrato del binomio (x - v) con costante di proporzionalità il coefficiente direttore; quindi
* (x^2 + b*x + c = 1*(x - v)^2) & (v = - 2) ≡
≡ x^2 + b*x + c = x^2 + 4*x + 2^2 ≡
≡ b = c = 4
da cui
* y = (a*x^2 + 1)/(x^2 + 4*x + 4)
* lim_(x → ∞) (a*x^2 + 1)/(x^2 + 4*x + 4) = a/1
Per avere come asintoto orizzontale y = 2 occorre avere a = 2; quindi
* y = (2*x^2 + 1)/(x^2 + 4*x + 4) = 9/(x + 2)^2 - 8/(x + 2) + 2
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Genius I
@exprof grazie mille