[Risolto] N. 309

309) Un prisma e una piramide quadrangolare regolare sono equivalenti. Lo spigolo di base è l' altezza della piramide  misurano rispettivamente 36 cm e 9 cm. Calcola l'area totale del prisma sapendo che ha per base un rombo con le diagonali di 18 cm e 24 cm. 

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Per favore ricontrolla il testo, guarda se va bene la piccola modifica in rosso, intanto vado avanti così:

Piramide.

Perimetro di base $2p_b= 4×36 = 144~cm$;

area di base $Ab= 36^2 = 1296~cm^2$;

volume $V= \dfrac{Ab·h}{3} = \dfrac{1296×9}{3} = 3888~cm^3$.

Prisma equivalente.

Volume $V= 3888~cm^3$;

area di base $Ab= \dfrac{D·d}{2} = \dfrac{24×18}{2} = 216~cm^2$;

altezza del prisma $h= \dfrac{V}{Ab} = \dfrac{3888}{216} = 18~cm$ (formula inversa del volume);

spigolo di base $s_b= \sqrt{\big(\frac{24}{2}\big)^2+\big(\frac{18}{2}\big)^2} = \sqrt{12^2+9^2} = 15~cm$ (teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo i cui cateti sono le semidiagonali del rombo mentre l'ipotenusa è lo spigolo di base);

perimetro di base $2p_b= 4·s_b = 4×15 = 60~cm$;

area laterale $Al= 2p_b·h = 60×18 = 1080~cm^2$;

area totale del prisma $At= Al+2·Ab = 1080+2×216 = 1512~cm^2$.

Un prisma a base romboidale e una piramide quadrangolare regolare sono equivalenti. Lo spigolo di base e AB l'altezza OE della piramide misurano rispettivamente 36 cm e 9 cm. Calcola l area totale A del prisma sapendo che il rombo ha le diagonali d2 =  18 cm e d1 = 24 cm.

piramide 

volume V = AB^2*OE/3 = 36^2*3 = 3.888 cm^2

prisma 

altezza h = V/((d1*d2)/2) = 3.888/(18*12) = 18,0 cm 

perimetro 2p = 4*√(d1/2)^2+(d2/2)^2 = 4√144+81 = 4*15 = 60 cm

area totale A = d1*d2+2p*h = 18*24+60*18 = 1.512 cm^2